Guter R, Janpolski A - Równania różniczkowe.pdf

(9302 KB) Pobierz
R.S. Guter, A.R. Janpolski
Równania różniczkowe
WARSZAWA 1980
PAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE
Dane oryginału:
P. C. TyTep, A. P. ^HnojibCKHft
JJucf)ęf)epeHiiua.ibHbie ypaewmH
M3,ijaHHe BTopoe, nepepa6oTaHHoe h ^onoJiHeHHoe
MocKBa «Bbicina« IllKOJia» 1976
Autor ilustracji
T. JI. BHAHbiii
(g) Copyright for the Polish edition
by Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1980
Z języka rosyjskiego tłumaczył
T A D E U S Z PŁATKOWSKI
Okładkę projektował
Andrzej Pilich
Redaktor
Zuzanna Jurkiewicz
Redaktor techniczny
Liliana Jezierska
Korektor
Alina Kalinowska
ISBN 83-01-01092-4
Wstęp
Wiele problemów nauki i techniki sprowadza się do znalezienia nie-
znanych funkcji, opisujących rozpatrywane zjawiska lub procesy na podsta-
wie zależności, wiążących między sobą te funkcje i ich pochodne. Zależ-
ności takie nazywamy
równaniami różniczkowymi.
Rozważmy kilka przy-
kładów.
Wyznaczyć ciśnienie powietrza w zależności od wysokości
nad poziomem morza.
PRZYKŁAD 1.
R o z w i ą z a n i e . Niech
h
oznacza wysokość nad poziomem morza
(w m),
p
— ciśnienie powietrza (w N/m
2
). Zadanie polega na tym, aby
wyznaczyć funkcję p=p(h), opisującą zależność ciśnienia od wysokości.
Ah
poziom morza
Rys. 1
Rozważmy poziomą powierzchnię o polu 1 m
2
umieszczoną na wyso-
kości /z=0 i słup powietrza nad tą powierzchnią. Wyobraźmy sobie prze-
krój poprzeczny słupa powietrza na wysokości
h
(rys. 1). Ciśnienie na tym
przekroju jest wyznaczone przez ciężar części słupa, która znajduje się
6
Wstęp
powyżej przekroju. Wykonajmy drugi przekrój poprzeczny na wysokości
h + Ah.
Ciśnienie na przekroju na tej wysokości jest mniejsze o wartość
Ap,
równą ciężarowi powietrza w słupie pomiędzy przekrojami. Można więc
napisać:
Ap = —dAh,
gdzie
d
jest ciężarem 1 m
3
powietrza pod ciśnieniem
p
N/m
2
.
Wielkość
d
jest proporcjonalna do ciśnienia. Niech bowiem
d
0
oznacza
ciężar 1 m
3
powietrza pod ciśnieniem
p
0
= \
N/m
2
. Korzystając z prawa
Boyle'a-Mariotte'a
(pV=p
0
V
0
)
stwierdzamy, że ta sama ilość powietrza
zajmuje pod ciśnieniem
p
objętość
V=—m
3
i waży — jak poprzednio —
P
d
0
d
0
N. 1 m
3
powietrza waży w tych warunkach
d= — = d
0
p
lub ogólniej:
d=kp,
gdzie
k
jest współczynnikiem proporcjonalności. Otrzymujemy w ten
sposób zależność
(1)
Ap=-kpAh.
Równość (1) nie jest ścisła. Założyliśmy bowiem, że we wszystkich
przekrojach pomiędzy
h
i
h + Ah
ciśnienie jest stałe, równe
p.
W rzeczy-
wistości ciśnienie w tych przekrojach jest różne i maleje ze wzrostem h.
Wydaje się jednak naturalne założenie ciągłości funkcji
p=p(h).
Błąd po-
pełniany we wzorze (1) jest wtedy tym mniejszy, im mniejsza jest wartość
Ah.
Dzieląc obie strony równości (1) przez
Ah
i przechodząc do granicy
Ah-+
0, otrzymujemy
®
dh
Równość (2) jest
równaniem różniczkowym
wiążącym nieznaną (szuka-
ną) funkcję^? (/?) i jej pochodną —.
Rozwiązaniem
tego równania jest funkcja
dh
opisująca zależność ciśnienia powietrza
p
od wysokości
h.
Ponieważ nie
znamy na razie ogólnych metod otrzymywania rozwiązań, więc postąpimy
w następujący sposób.
Potraktujmy wysokość
h
nad poziomem morza we wzorze (1) jako funkcję
ciśnienia
p.
Tak postępujemy na przykład przy niwelacji barometrycznej,

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin