wahadlo_student.pdf

(195 KB) Pobierz
Ćwiczenie
nr 1 – WAHADŁO MATEMATYCZNE
Instrukcja dla studenta
Ćwiczenie
nr 1
WAHADŁO MATEMATYCZNE
Instrukcja dla studenta
A. Majhofer i R. Nowak, 7 II 2014
WSTĘP
Celem
ćwiczenia
jest ukazanie początkującemu eksperymentatorowi fundamentalnej
własności pomiarów, którą jest brak powtarzalności – uzyskiwane wyniki, mimo usilnych starań
eksperymentatora, są róŜne. Uświadomienie sobie tego faktu rodzi dwie refleksje: pierwsza dotyczy
potrzeby wprowadzenia rozmaitych wielkości, które w sposób graficzny i ilościowy opiszą
i podsumują uzyskane rezultaty, zaś druga kaŜe nam rozwaŜyć moŜliwe modyfikacje sposobu
prowadzenia doświadczenia i wykonywania pomiarów, wiodące do ograniczenia obserwowanej
zmienności. Dla zilustrowania pojawiających się w tym kontekście zagadnień, wykonamy pomiary
okresu wahadła matematycznego.
Wykonywane doświadczenie składa się z trzech części pomiarowych. Wyniki tych
pomiarów posłuŜą do konstruowania kolejno rozmaitych obiektów statystycznych, które opisują
statystyczną naturę pomiarów i pomagają wyznaczać, z surowych wyników pomiarów, oceny
wartości poszukiwanych wielkości fizycznych. Zrealizowanie tych zadań wymaga bogatych
zbiorów danych, a więc wielokrotnych pomiarów tej samej wielkości fizycznej – w naszym
przypadku – okresu wahadła.
POMIARY
Masz do dyspozycji:
•
wahadło o regulowanej długości,
•
stoper pozwalający na odczyt czasu z dokładnością do 0,01 s
•
taśmę mierniczą pozwalającą na odczyt długości z dokładnością do 1 mm.
Część pomiarowa I
Ustal długość wahadła tak, aby dolna krawędź kuli wahadła znalazła się między kilka
a kilkanaście centymetrów nad podłogą. Zmierz i zanotuj tę wysokość (oznaczmy ją symbolem
h
1
).
Pod znajdującym się w połoŜeniu równowagi wahadłem, umieść na podłodze długopis lub kartkę
papieru z narysowaną wyraźną kreską. Wychyl wahadło, w kierunku prostopadłym do narysowanej
na kartce kreski, na odległość około 20 – 30 cm od połoŜenia równowagi i zwolnij je. Spróbuj
róŜnych sposobów zwalniania wahadła i obserwuj je przez kilkanaście okresów. Zwróć uwagę,
Ŝeby
wahadło nie krąŜyło po elipsie, kula wahadła nie „kiwała” się wokół własnego
środka
cięŜkości, ani teŜ nie obracała się wokół własnej osi. Wszystkie te efekty są niewskazane, gdyŜ
zmieniają one okres drgań, który chcemy zmierzyć. Wykonaj takŜe najpierw parę próbnych
pomiarów, które pozwolą Ci poćwiczyć rękę, ... . Gdy „dopracujesz” się w miarę idealnego sposobu
uruchamiania wahadła i wykonania pomiaru, zapisz wyniki 216 (słownie: dwustu szesnastu)
pomiarów
jednego
okresu wahań wahadła.
Okres wahań wyznaczaj jako przedział czasu między dwoma kolejnymi przejściami
wahadła w tę samą stronę nad kreską na kartce.
Część pomiarowa II
Nie zmieniając układu doświadczalnego, wykonaj 54 (słownie: pięćdziesiąt cztery) pomiary
poczwórnego
okresu wahań wahadła (czasu trwania 4 pełnych okresów).
Część pomiarowa III
(dane
uzyskane w tej części wykorzystamy na
ćwiczeniach
rachunkowych
w trakcie semestru)
Zmierz 5 razy czas trwania 10 okresów. Skróć wahadło. Zmierz i zanotuj odległość
h
między dolną krawędzią kuli a podłogą. Zmierz pięciokrotnie i zanotuj czas trwania 10 okresów
drgań. Powtórz tę operację dla następnych trzech długości wahadła (a więc razem pięciu długości),
starając się, aby dobrane przez Ciebie długości pokrywały, w miarę równych odstępach, cały zakres
1
Ćwiczenie
nr 1 – WAHADŁO MATEMATYCZNE
Instrukcja dla studenta
długości wahadła od jej wartości maksymalnej do minimalnej. Przy małych długościach wahadła
pomiar okresu wykonuj, obserwując przejście kuli wahadła na tle wybranego punktu – framugi
drzwi, nogi stołu itp. Nie muszą to być punkty, które precyzyjnie określają połoŜenie równowagi
wahadła. Unikaj jednak takich punktów odniesienia, które są bliskie momentom zwrotnym w ruchu
wahadła, gdyŜ wyznaczany przy ich wykorzystaniu okres będzie mniej dokładny (dlaczego?).
Wyniki pomiarów notuj w tabeli, która moŜe mieć postać Tabeli 1.
Tabela 1. Wyniki pomiaru czasu trwania 10 okresów
h
1
= ... cm
h
2
= ... cm
h
3
= ... cm
h
4
= ... cm
h
5
= ... cm
czas
t
trwania dziesięciu okresów [s]
...
...
...
...
...
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
...
...
...
ANALIZA DANYCH
...
...
Doświadczenie to dostarcza bardzo bogatego materiału statystycznego, którego nie da się
przeanalizować w pełni w trakcie zajęć, dlatego od studentki/studenta wymagana jest współpraca,
polegająca na wykonaniu zadań domowych. Aby uniknąć błędów zaokrągleń, pomyłek i skrócić
czas potrzebny na ich wykonanie, zalecanym sposobem przeprowadzania obliczeń jest
wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego lub innego, podobnego narzędzia.
UWAGA: Na stronie, z której pobrałaś/pobrałeś niniejszą Instrukcję, znajduje się arkusz
kalkulacyjny do programu Calc pakietu Open Office przygotowany do wykonania obliczeń
będących przedmiotem poniŜszych zadań. Arkusz ten lub równowaŜny będzie niezbędny podczas
ćwiczeń
rachunkowych i moŜe być pomocny podczas przygotowywania raportu końcowego.
Pierwszym krokiem analizy statystycznej wyników wielokrotnych pomiarów jest ich
graficzna prezentacja w postaci
histogramu
(patrz: DODATEK A), który syntetycznie obrazuje
rozkład uzyskanych wyników w próbce.
Zadanie
1 (obowiązkowe
do domu – do wykonaniu przed
ćwiczeniami
rachunkowymi)
a) Narysuj, na papierze, histogram
gęstości
lub
częstości
uzyskanych przez siebie
216
wyników
pomiaru jednego okresu drgań wahadła. Ustal zakres histogramu na podstawie minimalnej
i maksymalnej wartości uzyskanych wyników. Zastosuj stały przedział histogramowania
o szerokości
∆
=
0,03 s.
Zastanów się, jakich zmian w kształcie histogramu oczekujesz, jeśli
liczebność próbki powiększysz np. dziesięciokrotnie.
b) Narysuj analogiczny histogram wartości
średnich
wyznaczonych z kolejnych czwórek wartości
pojedynczych okresów. Zachowaj ten sam przedział, zakres i skalę histogramu, co
w punkcie a).
c) Z danych uzyskanych w
Części pomiarowej II,
narysuj histogram jednej czwartej wartości
kolejnych poczwórnych okresów. Zachowaj ten sam przedział, zakres i skalę histogramu, co
w punkcie a).
d) Porównaj kształt histogramów uzyskanych w punktach a), b) oraz c). Wymień zaobserwowane
róŜnice.
Histogramy powinny przedstawiać gęstości lub częstości, a nie liczebności, zaś same rysunki
muszą być duŜe, przynajmniej połowy formatu A4.
Zadanie
2 (do
domu – dla ambitnych)
Narysuj ten sam histogram co w punkcie a)
Zadania
1,
ale z przedziałem o szerokości
∆
= 0,01 s.
Co sądzisz o wykorzystywanym stoperze? Czy stoper, który masz w swym zegarku, albo
komórce, działa tak samo?
W
środowisku
fizyków za
ocenę prawdziwej wartości wielkości fizycznej,
którą
mierzymy, przyjmuje się
średnią
arytmetyczną,
którą dla serii
N
wartości
x
i
,
i
= 1,2,...,
N,
definiujemy związkiem
2
Ćwiczenie
nr 1 – WAHADŁO MATEMATYCZNE
Instrukcja dla studenta
1
N
x
=
∑
x
i
,
N
i
=
1
za
ś
za miar
ę
rozrzutu uzyskanych warto
ś
ci, czyli szeroko
ś
ci rozkładu, przyjmujemy wielko
ść
s
x
,
której kwadrat jest proporcjonalny do sumy kwadratów reszt
s
∝
∑
(
x
i
−
x
)
.
2
x
2
i
=
1
N
Poniewa
Ŝ
warto
ść
ukazanej sumy wzrasta ze wzrostem liczby składników, naszym
zadaniem b
ę
dzie wyznaczenie postaci tego zwi
ą
zku. W tym celu b
ę
dziemy badali własno
ś
ci
rozkładów danych zgrupowanych.
Zadanie
3 (obowiązkowe
do domu – do wykonania przed
ćwiczeniami
rachunkowymi)
a) Podziel swoj
ą
próbk
ę
216
danych opisuj
ą
cych pojedyncze okresy drga
ń
na k =
108
rozł
ą
cznych grup (podpróbek) po n =
2
okresy w ka
Ŝ
dej (2⋅108 =
216).
Dla ka
Ŝ
dej
podpróbki oblicz
ś
redni
ą
i sum
ę
kwadratów odchyle
ń
indywidualnych wyników pomiaru od
tej
ś
redniej. Nast
ę
pnie oblicz
ś
redni
ą
z tych sum.
Za pomoc
ą
ogólnych wzorów procedur
ę
t
ę
mo
Ŝ
na zapisa
ć
nast
ę
puj
ą
co. Niech x
ij
oznacza warto
ść
elementu o numerze j, j =
1,2,...,
n, w podpróbce o numerze i,
i =
1,2,...,
k, wtedy suma kwadratów odchyle
ń
od
ś
redniej
1
n
x
(
n
),
i
=
∑
x
ij
,
i
=
1, 2,
…
,
k
,
n
j
=
1
w k-tej podpróbce wynosi
ζ
(
n
),
i
=
∑
(
x
ij
−
x
(
n
),
i
)
,
i
=
1,2,
…
,
k
,
2
j
=
1
n
b)
c)
d)
e)
f)
gdzie dodatkowy dolny indeks (n) przypomina nam,
Ŝ
e dane pochodz
ą
z podziału na
podpróbki licz
ą
ce n warto
ś
ci ka
Ŝ
da. Wyznacz
ś
redni
ą
sum
ę
kwadratów odchyle
ń
1
k
ζ
(
n
)
=
∑
ζ
(
n
),
i
k
i
=
1
ze wszystkich k podpróbek.
Wykonaj analogiczne obliczenia dla nast
ę
puj
ą
cych grupowa
ń
: n =
3
(k =
72),
n =
4
(k =
54),
n =
6
(k =
36),
n = 8 (k =
27),
n =
9
(k =
24),
n =
12
(k =
18),
n =
18
(k =
12)
oraz n =24 (k =
9).
Wykonaj na papierze wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
ζ
(n)
od liczebno
ś
ci n podpróbek.
Oblicz
ś
redni
ą
x
wszystkich zmierzonych przez Ciebie pojedynczych okresów.
W dalszej cz
ęś
ci analizy b
ę
dziemy te
Ŝ
badali rozrzut
ś
redniej z danych grupowanych,
dlatego dla ka
Ŝ
dego z grupowa
ń
danych w podpróbki po n =
2
, 3, 4,
6
, 8,
9
,
12
,
18
oraz
24
elementów, oblicz
2
1
k
2
s
(
n
)
=
(
x
(
n
),
i
−
x
)
, gdzie odpowiednio
k
=
108, 72, 54, 36, 27, 24, 18, 12 oraz 9 .
∑
k
−
1
i
=
1
Wykonaj takŜe dodatkowe obliczenia dla n =
1,
czyli dla k =
216.
Wykonaj na papierze wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
s
(2
n
)
od liczebno
ś
ci n w ka
Ŝ
dej z podpróbek.
g ) Wykonaj na papierze wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
log
(
s
(2
n
)
)
od
log
(
n
)
.
h ) Wykonaj na papierze wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
s
(2
n
)
od 1/n (odwrotno
ś
ci liczebno
ś
ci n).
Zadanie
4 (na
ćwiczeniach)
Spójrz na swój wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
ζ
(n)
od liczebno
ś
ci n. Jaki charakter zale
Ŝ
no
ś
ci widzisz?
Je
ś
li widzisz zale
Ŝ
no
ść
liniow
ą
to, przykładaj
ą
c linijk
ę
do punktów wykresu, narysuj prost
ą
najlepiej przechodz
ą
c
ą
przez te punkty. Wyznacz warto
ść
n, przy której linia prosta przecina o
ś
odci
ę
tych.
3
Ćwiczenie
nr 1 – WAHADŁO MATEMATYCZNE
Instrukcja dla studenta
W
ś
rodowisku fizyków, za ocen
ę
szeroko
ś
ci rozkładu wielko
ś
ci
x
uzyskan
ą
na podstawie
próbki warto
ś
ci
x
i
o liczebno
ś
ci
N,
przyjmujemy wielko
ść
s
x
zdefiniowan
ą
za pomoc
ą
wyra
Ŝ
enia
1
N
2
2
s
x
=
(
x
i
−
x
)
.
∑
N
−
1
i
=
1
Wielko
ść
s
x
, nazywamy
statystyczną niepewnością standardową
i cz
ę
sto termin ten uzupełniamy
słowami:
pojedynczego pomiaru
, gdy
Ŝ
okre
ś
la ona
ś
rednie odchylenie
indywidualnego
wyniku
od
ś
redniej. Fraza:
pojedynczego pomiaru
pojawia si
ę
tu dlatego,
Ŝ
e wykonuj
ą
c
jeden
dodatkowy
pomiar spodziewamy si
ę
,
Ŝ
e odchyli si
ę
on od
ś
redniej,
ś
rednio rzecz bior
ą
c, wła
ś
nie o warto
ść
s
x
2
(
ś
ci
ś
lej: kwadrat odchylenia tego wyniku od warto
ś
ci
ś
redniej przyjmie warto
ść
zbli
Ŝ
on
ą
do
s
x
).
Inna cz
ę
sto spotykana nazwa wielko
ś
ci
s
x
to
odchylenie standardowe eksperymentalne
lub te
Ŝ
odchylenie standardowe z próbki
.
Przy ustalonym grupowaniu danych,
ś
rednie warto
ś
ci uzyskane w ka
Ŝ
dej z podpróbek b
ę
d
ą
miały rozkład, jak ilustruje to przykładowy histogram w
Zadaniu
1
, punkt
b)
. Zbadamy teraz, jak
zmienia si
ę
szeroko
ść
tego rozkładu ze zmian
ą
liczebno
ś
ci próbki, dla której obliczamy
ś
redni
ą
.
W tym celu posłu
Ŝ
ymy si
ę
wielko
ś
ci
ą
s
(2
n
)
, która jest kwadratem niepewno
ś
ci standardowej
pojedynczego pomiaru, ale tym pojedynczym pomiarem jest teraz nie indywidualna warto
ść
pomiarowa, lecz
ś
rednia z podpróbki o liczebno
ś
ci
n
.
Zadanie
5 (na
ćwiczeniach)
Spójrz na wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
s
(2
n
)
od liczebno
ś
ci n podpróbki uzyskany w punkcie f) oraz
wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
log
(
s
(2
n
)
)
od
log
(
n
)
uzyskany w punkcie g)
Zadania
3
. Czy dostrzegasz prost
ą
zale
Ŝ
no
ść
mi
ę
dzy wielko
ś
ciami? Je
ś
li widzisz zale
Ŝ
no
ść
liniow
ą
to, przykładaj
ą
c linijk
ę
do wykresu,
narysuj prost
ą
przechodz
ą
c
ą
, Twoim zdaniem, najbli
Ŝ
ej wszystkich punktów pomiarowych i oce
ń
warto
ś
ci parametrów tej prostej.
Zadanie 6 (na
ćwiczeniach)
Spójrz na wykres zale
Ŝ
no
ś
ci
s
(2
n
)
od
1
/n (odwrotno
ś
ci liczebno
ś
ci n) uzyskany w punkcie h)
Zadania
3
. Czy dostrzegasz prost
ą
zale
Ŝ
no
ść
mi
ę
dzy wielko
ś
ciami? Je
ś
li widzisz zale
Ŝ
no
ść
liniow
ą
to, przykładaj
ą
c linijk
ę
do wykresu, narysuj prost
ą
przechodz
ą
c
ą
, Twoim zdaniem, najbli
Ŝ
ej
wszystkich punktów pomiarowych i oce
ń
warto
ś
ci parametrów tej prostej. Czy s
ą
one zgodne
ilo
ś
ciowo z warto
ś
ciami uzyskanymi w poprzednim zadaniu?
Konwencjonalnie, za miar
ę
niepewności standardowej
średniej
arytmetycznej
uzyskanej
z próbki
o liczebności
N
przyjmujemy wielko
ść
s
x
, której kwadrat definiuje nast
ę
puj
ą
cy wzór:
2
s
x
s
=
,
N
gdzie
s
x
jest niepewno
ś
ci
ą
standardow
ą
pojedynczego pomiaru lub w postaci rozwini
ę
tej:
N
1
2
2
s
x
=
(
x
i
−
x
)
.
∑
N
(
N
−
1
)
i
=
1
2
x
Zadanie
7 (do
domu dla ambitnych)
Dana jest seria x
i
, i =
1
,
2
,..., N, wyników pomiarów. Wyra
ź
my wszystkie warto
ś
ci x
i
jako
odchylenia od pewnej, wybranej w sposób arbitralny, warto
ś
ci x
0
: x
i
= x
0
+
ε
i
. Poka
Ŝ
,
Ŝ
e
1
N
1
N
2
2
x
=
x
0
+
ε
,
s
x
=
∑
(
ε
i
−
ε
)
, gdzie
ε
=
N
∑
ε
i
.
N
−
1
i
=
1
i
=
1
Taki sposób obliczania pozwala, niekiedy, sprawniej wyznaczy
ć
obie wielko
ś
ci. Wskazuje równie
Ŝ
na fakt,
Ŝ
e niepewno
ść
standardowa nie jest czuła na poło
Ŝ
enie rozkładu – mo
Ŝ
emy go przesun
ąć
,
jako cało
ść
, w lewo lub w prawo, a miara rozrzutu nie ulegnie zmianie, czego, bez w
ą
tpienia,
oczekiwaliby
ś
my od takiej wielko
ś
ci.
4
Ćwiczenie
nr 1 – WAHADŁO MATEMATYCZNE
Instrukcja dla studenta
Zadanie
8 (do
domu dla ambitnych)
Wyka
Ŝ
,
Ŝ
e wzór definiuj
ą
cy kwadrat niepewno
ś
ci standardowej mo
Ŝ
na przedstawi
ć
w nast
ę
puj
ą
cych, alternatywnych formach:
1
N
2
N
1
N
2
2
2
s
x
=
x
i
−
Nx
=
x
i
−
x
2
.
∑
∑
N
−
1
i
=
1
N
−
1
N
i
=
1
UWAGA
: W praktycznych obliczeniach, a wi
ę
c ze sko
ń
czon
ą
precyzj
ą
, korzystanie z powy
Ŝ
szej
to
Ŝ
samo
ś
ci mo
Ŝ
e prowadzi
ć
do bł
ę
dnych, a nawet nonsensownych wyników z powodu bł
ę
dów
zaokr
ą
gle
ń
. Dlatego wskazane jest stosowanie wzoru definiuj
ą
cego lub te
Ŝ
wykorzystanie procedury
opisanej w
Zadaniu
9
.
Zadanie
9 (do
domu dla ambitnych)
Niech próbka licz
ą
ca N warto
ś
ci ma warto
ś
ci
ą ś
redni
ą
x
N
i niepewno
ść
standardow
ą
s
N
pojedynczego pomiaru, gdzie indeks N ma nam przypomina
ć
,
Ŝ
e wielko
ś
ci te wyznaczone s
ą
z próbki o liczebno
ś
ci N. Przypu
ść
my,
Ŝ
e wykonujemy jeden dodatkowy pomiar, w wyniku którego
otrzymujemy warto
ść
x
N +
1
. Poka
Ŝ
,
Ŝ
e now
ą
warto
ść ś
redniej arytmetycznej x
N
+
1
i now
ą
warto
ść
2
s
N
+
1
kwadratu niepewno
ś
ci standardowej mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
z dodatkowego wyniku pomiaru
i starych warto
ś
ci
ś
redniej i niepewno
ś
ci za pomoc
ą
zwi
ą
zków:
Nx
N
+
x
N
+
1
N
−
1
2
1
2
2
x
N
+
1
=
,
s
N
+
1
=
s
N
+
(
x
N
−
x
N
+
1
)
.
N
+
1
N
N
+
1
Ten sposób wyznaczania warto
ś
ci
ś
redniej i niepewno
ś
ci standardowej zapewnia lepsz
ą
stabilno
ść
numeryczn
ą
ni
Ŝ
zwi
ą
zki podane w
Zadaniu
8
.
Zadanie
10 (do
domu dla ambitnych)
Przypu
ść
my,
Ŝ
e pomiar okresu drga
ń
wahadła wykonywany był przez M osób i ka
Ŝ
da z nich
zmierzyła N okresów, a Twoim zadaniem jest narysowanie wykresu zale
Ŝ
no
ś
ci
ζ
(n)
od liczebno
ś
ci n
podpróbek
(jak
w
Zadaniu
3
),
ale dla
wszystkich danych
. Mo
Ŝ
esz, oczywi
ś
cie, „zsypa
ć
” wszystkie
dane razem i powtórzy
ć
obliczenia z
Zadania
3
. Mo
Ŝ
esz jednak pój
ść
inn
ą
drog
ą
. Przypu
ść
my,
Ŝ
e
ka
Ŝ
da z osób obliczyła wielko
ść
ζ
(
n
),
α
,
α
=
1, 2,
..., M, przy tym samym grupowaniu danych. Poka
Ŝ
,
Ŝ
e warto
ść
ζ
(
n
)
dla cało
ś
ci danych, tj. odpowiednik warto
ś
ci
ζ
(n)
dla jednej próbki, jest
ś
redni
ą
warto
ś
ci
ą
ζ
(n)
:
ζ
(
n
)
1
=
M
∑
ζ
α
=
1
M
(
n
),
α
.
Zadanie
11 (do
domu dla ambitnych)
Przypu
ść
my,
Ŝ
e pomiar okresu drga
ń
wahadła wykonywany był przez M osób i ka
Ŝ
da z nich
zmierzyła N okresów, a Twoim zadaniem jest narysowanie wykresu zale
Ŝ
no
ś
ci
s
(2
n
)
od liczebno
ś
ci n
podpróbek
(jak
w
Zadaniu
3
),
ale dla
wszystkich danych
. Mo
Ŝ
esz, oczywi
ś
cie, „zsypa
ć
” wszystkie
dane razem i powtórzy
ć
obliczenia z
Zadania
3
. Mo
Ŝ
esz jednak pój
ść
inn
ą
drog
ą
. Przypu
ść
my,
Ŝ
e
ka
Ŝ
da z osób obliczyła wielko
ść
s
(2
n
)
, któr
ą
tu nazwiemy
s
(2
n
),
α
,
α
=
1, 2,
..., M, z tym samym
grupowaniem po n danych. Poka
Ŝ
,
Ŝ
e warto
ść
s
(2
n
)
dla cało
ś
ci danych mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
ze zwi
ą
zku:
M
k
n
−
1
M
2
k
n
1
M
2
s
=
∑
s
(
n
),
α
+
Mk
−
1
∑
(
x
−
x
α
)
,
x
=
M
∑
x
α
,
Mk
n
−
1
α
=
1
α
=
1
α
=
1
n
gdzie x
α
jest
ś
rednim okresem wyznaczonym z danych jednej osoby, k
n
jest liczb
ą
podpróbek przy
zadanym grupowaniu
(k
n
=
216, 108, 72, 54, 36, 27, 24, 18, 12
oraz
9),
za
ś
x jest
ś
rednim okresem
dla tego samego wahadła wyznaczonym z danych uzyskanych przez wszystkie M osób.
2
(
n
)
Zadanie
12 (do
domu dla ambitnych)
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin