w5.pdf

(380 KB) Pobierz
Na podstawie [1]
III. 3. Obserwowalność
Problem obserwacji polega na wyznaczaniu wektora stanu
x
n
na
podstawie pomiaru wyjścia w skończonym czasie do momentu
n.
Może on dotyczyć obiektu sterowanego i niesterowanego.
Problem obserwacji obiektu niesterowanego
Dane:
x
n
1
�½
f
(
x
n
),
obiekt opisany równaniami
�½
y
n
�½
(
x
n
)
oraz
ciąg
N
obserwacji
y
n
,
y
n–1
, ...,
y
n–
(N–1)
, gdzie
N
 
Wyznaczyć:
wartość
x
n
Pojęcia:
algorytm obserwacji
– zależność
x
n
=
G( y
n
,
y
n-1
, ...,
y
n–
(N–1)
)
obserwator
– realizacja algorytmu obserwacji
obserwowalność
– własność obiektu
Stan
x
n
obiektu opisanego funkcjami
f
oraz
nazywamy
obserwowalnym,
jeśli można go wyznaczyć dla danego skończonego
ciągu obserwacji.
Obiekt nazywamy w pełni
obserwowalnym,
jeśli każdy jego stan jest
obserwowalny.
Sposób rozwiązania: Rozpatrujemy układ równań
x
i
�½
f ( x
i
1
),
�½
y
i
�½
( x
i
),
dla
i
=
n, n
– 1, ...,
n
– (N–2) oraz równanie
y
n–
(N–1)
=
(x
n–(N–1)
).
Z tego układu należy wyeliminować zmienne
x
n–1
, ...,
x
n–
(N–1)
Liczbę
N
dobieramy tak, aby uzyskać rozwiązanie –jeśli to możliwe.
Rozwiązanie istnieje np. dla obiektu liniowego stacjonarnego o
jednym wyjściu (l
= 1),
tzn.
x
n+1
=
Ax
n
,
y
n
=
c
T
x
n
Zakładamy, że det
A
0 i rozpatrujemy układ równań
x
n
=
Ax
n–1
,
x
n–1
=
Ax
n–2
,
x
n–
(N–2)
=
Ax
n–
(N–1)
,
y
n
=
c
T
x
n
,
y
n–1
=
c
T
x
n–1
,
y
n–
(N–2)
=
c
T
x
n–
(N–2)
,
y
n–
(N–1)
=
c
T
x
n–
(N–1)
.
Przyjmujemy, że
N
�½
k
i dokonując kolejnych podstawień
uzyskujemy
y
n
=
c
T
x
n
,
y
n–1
=
c
T
x
n–1
=
c
T
A
–1
x
n
,
y
n–2
=
c
T
x
n–2
=
c
T
A
–2
x
n
,
…………………………
y
n–
(k–1)
=
c
T
x
n–
(k–1)
=
c
T
A
– (k–1)
x
n
.
Zapis w formie macierzowej
~
y
n
,
k
=
M
x
n
=
M
A
1–k
x
n,
…..................................................
gdzie
c
T
T
1
c A
~
,
M
=
T
(
k
2)
c A
c
T
A
(
k
1)
c
T
A
k
1
T
k
2
c A
.
M
=
T
c A
c
T
Stąd
x
n
=A
k–1
M
1
y
n
,
k
- algorytm obserwacji
przy założeniu, że det
M
0.
Twierdzenie: Obiekt
x
n+1
=
Ax
n
,
y
n
=
c
T
x
n
, w którym det
A
0
jest
w pełni obserwowalny
wtedy i tylko wtedy, gdy
det
M
0.
Problem obserwacji obiektu sterowanego
x
n
1
�½
f
(
x
n
,
u
n
),
Dane: obiekt opisany równaniami
�½
oraz ciąg
y
n
�½
(
x
n
)
sterowań
u
n–1
, ...,
u
n–
(N–1)
i ciąg obserwacji
y
n
,
y
n–1
, ...,
y
n–
(N–1)
, gdzie
N

Wyznaczyć: wartość
x
n
Ogólna postać algorytmu obserwacji
x
n
=
G(u
n–1
, ...,
u
n–
(N–1)
;
y
n
, ...,
y
n–
(N–1)
)
u
n
obiekt
f

y
n
obserwator
G
x
n
System obserwacji
Teraz dla obiektu jednym wejściu (p
= 1)
i jednym wyjściu (l
= 1),
tzn.
x
n+1
=
Ax
n
+
bu
n
,
y
n
=
c
T
x
n
układ równań, z którego wyznaczamy
x
n
, jest następujący
y
n
=
c
T
x
n
,
y
n–1
=
c
T
x
n–1
=
c
T
A
–1
(x
n
–
bu
n–1
) =
c
T
A
–1
x
n
–
c
T
A
–1
bu
n–1
,
y
n–2
=
c
T
x
n–2
=
c
T
A
–2
x
n
–
c
T
A
–2
bu
n–1
–
c
T
A
–1
bu
n–2
,
………………………………………………………
y
n–
(k–1)
=
c
T
x
n–
(k–1)
=
c
T
A
– (k–1)
x
n
–
c
T
A
– (k–1)
bu
n–1
– ... –
c
T
A
–1
bu
n–
(k–1)
Konkluzja (szczegóły
w literaturze):
Warunek obserwowalności jest taki sam jak poprzednio, tzn.
det
M
0
III. 3. Sterowanie w systemie zamkniętym z obserwatorem
Jeśli algorytm sterowania dla obiektu mierzalnego ma postać
u
n
=
(x
n
),
to wstawiając algorytm obserwacji
x
n
=
G(u
n–1
, ...,
u
n–
(N–1)
;
y
n
, ...,
y
n–
(N–1)
),
otrzymujemy
u
n
=
[G(u
n–1
, ...,
u
n–
(N–1)
;
y
n
, ...,
y
n–
(N–1)
)]
�½
(u
n–1
, ...,
u
n–
(N–1)
;
y
n
, ...,
y
n–
(N–1)
).
Jest to algorytm z pamięcią: wartość decyzji w chwili
n
zależy nie
tylko od
y
n
, ale od poprzednich decyzji i od poprzednich pomiarów
wyjścia.
Sterowanie jest realizowane w systemie zamkniętym z obserwatorem
u
n
obiekt
f

y
n
obserwator
G
un
x
n
u
n
obiekt
f

x
n
u
n
x
n
US
Dla rozpatrywanego wcześniej obiektu liniowego
x
n+1
=
Ax
n
+
bu
n
,
y
n
=
c
T
x
n
algorytm sterowania w systemie zamkniętym ma postać następującą:
~
u
n
= –
w
1
M
1
(
y
n
,
k
+
D
u
n
1,
k
1
),
gdzie
w
1
jest pierwszym wierszem macierzy
M
–1
A
k
,
M
= [A
k–1
b A
k–2
b
...
Ab b],
c
T
T
1
c A
~
,
M
=
T
(
k
2 )
c A
c
T
A
(
k
1)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin