Bryły związane
Definicja
Ciała połączone ze sobą w sposób umożliwiający pewną swobodę wzajemnych przemieszczeń tworzą tak zwany układ brył związanych.
Połączenia między bryłami nie mogą więc być połączeniami sztywnymi (spawanie, klejenie, połączenia śrubowe itp.).
Bryły związane mogą być połączone za pomocą:
– przegubów,
– nieważkich prętów przegubowych, lin, cięgien,
– bezpośrednio, bez udziału innych elementów – styk bezpośredni, kontakt.
Bryły związane mogą spełniać rolę:
- mechanizmu,
- konstrukcji.
Konstrukcja jako całość i każdy z jej elementów (podukładów) musi spełniać podstawowe warunki równowagi trwałej. Oznacza to, że:
– siły działające na konstrukcję i jej elementy muszą być w równowadze,
– konstrukcja i każdą jej część musi pozostawać nieruchoma przez dowolnie długi okres czasu pod działaniem dowolnego obciążenia.
Drugi warunek wiąże się z pojęciem geometrycznej (kinematycznej) niezmienności konstrukcji.
Podpory oraz elementy łączące bryły w jeden układ służą do unieruchomienia całego układu i jego części. Można powiedzieć, że krępują one swobodę przemieszczeń przez nałożenie pewnych ograniczeń zwanych więzami.
Powstaje pytanie, jak mierzyć swobodę przemieszczeń? Przy odpowiedzi na to pytanie użyteczne okazuje się pojęcie stopni swobody układu (ang. degree of freedom dof ). Stopnie swobody można ciała definiować dwojako.
– jako współrzędne niezbędne do jednoznacznego określenia położenia ciała,
– jako niezależne elementarne przemieszczenia, jakie ciało może wykonać (translacje i obroty).
Liczbą stopni swobody nazywamy
– liczbę niezależnych parametrów potrzebnych do określenia położenia ciała,
– liczbę niezależnych elementarnych przemieszczeń, jakie ciało może wykonać.
Na przykład
– punkt w przestrzeni ma 3 stopnie swobody
– punkt na płaszczyźnie ma 2 stopnie swobody, bo np. z = 0, albo z = const
– ciało sztywne na płaszczyźnie ma 3 stopnie swobody,
– ciało sztywne w przestrzeni ma 6 stopnie swobody.
Jeżeli bryły tworzą układ, to ich stopnie swobody się sumują. Natomiast podpory i elementy łączące redukują liczbę stopni swobody układu.
Dalej będziemy mówić o układach brył, które przenoszącą obciążenia leżące w jednej płaszczyźnie. Bryły takie nazywa się tarczami.
Liczbę ograniczeń (więzów) nałożonych przez podporę albo element łączący nazywamy jej/jego wartościowością. Wartościowość oznaczamy symbolem w.
przegub walcowy
nieważki pręt przegubowy
w = 2
w = 1
podpora przegubowa nieruchoma
podpora przegubowa ruchoma
Aby unieruchomić bryłę na płaszczyźnie trzeba odebrać jej przy pomocy więzów wszystkie stopnie swobody. Unieruchomiona tarcza ma zatem
s = 3 – 3 = 0 stopni swobody .
Ile stopni swobody należy odebrać układowi brył związanych (tarcz)?
n – liczna brył układu,
k – łączna liczba podpór i elementów łączących bryły w układ,
wi – wartościowości
.
(1)
Liczbę
(2)
Nazywamy liczbą więzów.
Możemy więc napisać
(3)
Odebranie wszystkich stopni swobody nie przesądza jednak o geometrycznej niezmienności układu.
Mówimy, że jeżeli s = 0, to spełniony jest tylko warunek konieczny geometrycznej niezmienności układu. Warunek dostateczny wiąże się z rozmieszczeniem podpór i łączników układu.
Warunek dostateczny jest spełniony, jeżeli wyznacznik macierzy układu równań równowagi jest różny od zera.
Zadania
1. Napisz równania równowagi dla pokazanego na rysunku układu, który składa się z dwóch nieważkich prętów: AB i BC. Pręty mają kształt łuków okręgu o promieniu R i połączone są przegubem B.
2. Napisz równania równowagi dla pokazanej na rysunku belki składającej się z dwóch części: AC i CE połączonych przegubem C. Ciężar belki można pominąć.
3. Rama składa się z trzech części: AB, BC i CD, połączonych przegubami B i C. Traktując elementy ramy jako nieważkie napisać równania równowagi.
- 4 -
bosmin