Czym są macierze?
Macierz to po prostu tablica liczb. - jest to przykładowa macierz.
Dla macierzy ważne jest kilka wartości charakteryzujących ją:
- - liczba wierszy (poziome)
- - liczba kolumn (pionowe)
Jeżeli w macierzy liczba kolumn jest równa liczbie wierszy to macierz nazywamy kwadratową n-tego stopnia, gdzie n to liczba kolumn i wierszy.
Każdy element macierzy jest opisywany przez numer wiersza i kolumny
np. ai,j – oznacza element leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.
Definicja matematyczna:
Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje dokładnie jedną wartość ai,j Î R nazywamy macierzą
Macierze zapisujemy na ogół tłustym drukiem - A, B – opisujemy
A=[aij]nxm – oznacza macierz o liczbie wierszy n i liczbie kolumn m, tworzą ją elementy aij
Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerową lub po prostu zerem, zapisujemy A=0
Dla macierzy kwadratowej możemy wyróżnić przekątną główną, tworzą ją elementy na przekątnej od lewego górnego rogu, do prawego dolnego. Matematycznie jest to ciąg elementów (a11, a22, ..., ann).
Macierz kwadratową, której wszystkie elementy oprócz przekątnej głównej są równe zero, nazywamy macierzą diagonalną i zapisujemy
diag(a11,a22,...,ann).
Macierz diagonalną, której wszystkie elementy na przekątnej równe są 1 nazywamy macierzą jednostkową lub po prostu jedynką i oznaczamy I.
np. I=dla stopnia trzeciego
Macierz, która oprócz przekątnej ma same 0, a na przekątnej te same wartości nazywamy macierzą skalarną.
np. A=diag(a,a,a) =
Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy nie jest już taką prostą sprawą. Operacja z początku może wydać się skomplikowana, ale po krótkiej wprawie wykonuje się ją już mnemotechnicznie.
Najpierw potrzebujemy zdefiniować sobie iloczyn skalarny dwóch wektorów.
Wektorem nazywamy macierz o jednej kolumnie.
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy liczbę która jest sumą iloczynów odpowiednich składowych wektorów.
Mnożenie macierzy jest możliwe dla macierzy o odpowiednich wymiarach.
Jeżeli chcemy przeprowadzić mnożenie A×B to liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierzy macierzy B.
Mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn. chcąc wykonać mnożenie
B×A liczba kolumn macierzy B musi być równa liczbie wierszy macierzy A.
Co jest wynikiem mnożenia?
Wynikiem mnożenia macierzy Anxm×Bmxk jest macierz C o wymiarze nxk.
Czyli po prostu przy mnożeniu macierzy o wymiarach nxm przez macierz o wymiarach kxl
- - po pierwsze „wewnętrzne” wymiary muszą się zgadzać => m=k
- - wynikiem jest macierz o wymiarach nxl
Jaką postać będzie miała macierz C?
Otóż każdy element macierzy C – cij jest równy iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza macierzy stojącej po lewej stronie znaku mnożnie, przez j-tą kolumnę macierzy stojącej po prawej stronie znaku mnożenia.
np.
Definicja
Iloczynem macierzy A=[aij]nxp przez macierz B=[bij]pxm nazywamy taką macierz C=[cij]nxm piszemy C=A×B, że
dla i=1,2,...,n;j=1,2,...,m
W ogólnym przypadku mnożenie macierzy nie jest przemienne, natomiast jeżeli A×B=B×A to macierze A i B nazywamy przemiennymi.
Kilka przydatnych właściwości:
Jeżeli A,B oraz C są macierzami o odpowiednich wymiarach to:
1. 1. A(BC)=(AB)C
2. 2. a(AB)=(aA)B
3. 3. (A+B)C=AC+BC
4. 4. C(A+B)=CA+CB
5. 5. IA=A, gdy Anxn i Inxn
I. Porównywanie macierzy
Dla macierzy A=[aij]nxm oraz B=[bij]nxm możemy stwierdzić równość jeżeli odpowiadające sobie elementy są równe.
Matematycznie zapisujemy:
A=B ó aij=bij dla (i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)
II. Dodawanie macierzy
Dodawanie (i analogicznie odejmowanie) macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach. Wynikiem dodawania macierzy jest macierz o takich samych wymiarach jak składniki. Elementy macierzy wynikowej są sumą odpowiednich elementów składników.
A=[aij]nxm , B=[bij]nxm
Sumą macierzy A+B nazywamy taką macierz C = [cij]nxm , że:
cij=aij+bij dla (i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)
czyli po prostu:
C=A+B= [aij+bij]nxm
analogicznie definiujemy odejmowanie:
D=A-B= [a...
pciola1