CABAN Piotr A-51
Równanie ruchu ciała o zmiennej masie
Można podać wiele przykładów ruchu ciał o zmiennej masie. Najczęściej wymienianym jest ruch wznoszącej się rakiety. Przyjmijmy, że rakieta startuje w chwili t=0 i wtedy jej prędkość wynosi zero a masa równa jest m0. Masę rakiety po czasie t od chwili startu oznaczmy przez mr, a jej prędkość w nieruchomym układzie odniesienia przez u r. Masę gazów wyrzucanych w czasie dt oznaczmy przez dmg, a ich prędkość względem rakiety przez ugr. Zapiszmy pęd naszego układu w chwilach czasu t oraz t+dt.
Pęd zapisujemy w nieruchomym układzie współrzędnych.
gdzie du r jest przyrostem prędkości rakiety. Zmiana pędu rakiety w odcinku czasu dt będzie
Zauważmy, że w wyrażeniu (mr - dmg) masa gazów wyrzucanych w czasie dt jest znacznie mniejsza niż masa całej rakiety i może być spokojnie pominięta.
Zmianę pędu możemy więc zapisać w prostszej formie
Skoro znamy wyrażenie na przyrost pędu (F=dp/dt) możemy, dzieląc obie strony wyrażenia przez przyrost czasu dt, zapisać drugą zasadę dynamiki dla naszego przypadku:
Równanie ruchu ma więc postać
W ten sposób sformułowaliśmy równanie ruchu dla ogólnego przypadku, kiedy masa ciała w czasie ruchu ulega zmianie, ubywająca masa odrzucana jest z prędkością ugr, a na ciało działa zewnętrzna siła F. Zauważmy, że ilość wyrzucanych gazów dmg/dt, pomnożona przez ich prędkość względem rakiety stanowi dodatkową siłę w naszym równaniu ruchu. To właśnie ta siła sprawia, że rakieta zwiększa swą prędkość, dlatego często nazywa się ja siła ciągu. Siła F reprezentuje siły zewnętrzne działające na ciało. W naszym przypadku są to siły grawitacji i oporów ruchu działające w kierunku przeciwnym niż siła ciągu.
Zwróćmy także uwagę, że wyrażenie dmg/dt to po prostu masa gazów wyrzucanych w jednostce czasu, którą możemy wyrazić na przykład w kg/s. Przyjmijmy, że przez cały czas lotu rakieta spala stałą ilość paliwa w jednostce czasu. Niech będzie to dmg/dt=ng kilogramów na sekundę. Masa rakiety w funkcji czasu t wyniesie wtedy
lub
gdzie wydzieliliśmy masę korpusu rakiety symbolem mk i początkową masę paliwa symbolem m0p. Zauważmy również, że kiedy masa rakiety zmniejsza się w czasie ruchu, to jej ubytek dmr równy jest masie wyrzucanych gazów, ale wzięty z przeciwnym znakiem czyli
Przyjmijmy teraz dla uproszczenia naszych rozważań, że siła ciągu jest o wiele większa od sił oporów ruchu i sił grawitacji . Wówczas w równaniu ruchu można pominąć siłę F otrzymując prostsze równanie
lub równoważne mu
Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, co umożliwia całkowanie niezależne lewej i prawej strony w granicach odpowiadających temu samemu przedziałowi czasu
W rezultacie otrzymujemy
W ten sposób uzyskujemy wzór na prędkość rakiety po czasie t.
Uzyskaliśmy słynny wzór Ciołkowskiego wyprowadzony na długo przed rozwojem techniki rakietowej.
1
bobex10