AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA
im. Stanisława Staszica
w Krakowie
Praca projektowa z przedmiotu: ‘Metody obliczeniowe’
Obliczenie „j, n-tego” (3, 3) elementu macierzy sztywności płaskiego elementu kwadratowego dla płaskiego stanu naprężenia (PSN).
Prowadzący: prof. dr hab. inż. Jan Walaszczyk
Wykonał: Łukasz Ładak,
Budownictwo, rok II
Grupa 3/1
Rok akademicki: 2012/2013
Kraków, czerwiec 2013r.
1. Cel zadania
Celem zadania jest obliczenie 3, 3 elementu macierzy sztywności płaskiego elementu kwadratowego dla płaskiego stanu naprężenia (PSN).
2. Dane
Analizowany płaski element kwadratowy charakteryzuje się następującymi parametrami:
· moduł Young’a E
· współczynnik Poisson’a ν
· bok kwadratu a
· grubość elementu H (const)
· macierz sprężystości D
Macierz sprężystości [D] elementu kwadratowego dla płaskiego stanu naprężenia ma następującą postać:
D= E1-ν2 1ν0ν10001-ν2
Dla płaskiego elementu kwadratowego przyjęto następujący układ współrzędnych:
3. Obliczenie macierzy sztywności
W celu obliczenia elementu k3, 3 macierzy sztywności [K] płaskiego elementu kwadratowego konieczne jest określenie funkcji kształtu (wpływu), służącej do wyznaczenia funkcji odkształcenia (podatności) [B]. Macierz sztywności oblicza się z zależności:
K= V[ B ]TD B dv,
gdzie dv=H∙dx∙dy
Wyznaczenie funkcji przemieszczeń [f]:
Funkcję przemieszczenia oblicza się ze wzoru:
f= Nδ
ux, yvx, y= N10N20N300N10N20N3 N400N4 u1v1u2v2u3v3u4v4
Wyznaczenie macierzy [N]:
Wyznacznik macierzy funkcji kształtu (wpływu) [ N ]:
N=N10N20N300N10N20N3 N400N4
Przyjęto następującą funkcję kształtu:
Nx, y= ax+by+cxy+d
Współrzędne poszczególnych węzłów:
(x1, y1)=(0,0)
(x2, y2)=(a,0)
(x3, y3)=(a,a)
(x4, y4)=(0,a)
Wyznaczenie funkcji N1:
N1x,y=a1x+b1y+c1xy+d1
N10,0=1
a1∙0+b1∙0+c1∙0+d1=1
stąd d1=1
N1a,0=0
a1∙a+b1∙0+c1∙0+1=0
stąd a1=-1a
N1a,a=0
-1a∙a+b1∙a+c1∙a2+1=0
b1∙a+c1∙a2=0
N10,a=0
-1a∙0+b1∙a+c1∙0+1=0
stąd b1=1a
wracając do obliczenia c1
otrzymujemy: c1=1a2
ostatecznie, funkcja N1 przyjmuje postać:
N1x,y=-xa-ya+xya2+1
Wyznaczenie funkcji N2:
N2x,y=a2x+b2y+c2xy+d2
N20,0=0
a2∙0+b2∙0+c2∙0+d2=0
stąd d2=0
N2a,0=1
a2∙a+b2∙0+c2∙0+0=1
stąd a2=1a
N2a,a=0
1a∙a+b2∙a+c2∙a2+0=0
b2∙a+c2∙a2=-1
N20,a=0
1a∙0+b2∙a+c2∙0+0=0
stąd b2=0
wracając do obliczenia c2:
otrzymujemy: c2=-1a2
ostatecznie, funkcja N2 przyjmuje postać:
N2x,y=xa-xya2
Wyznaczenie funkcji N3:
N3x,y=a3x+b3y+c3xy+d3
N30,0=0
a3∙0+b3∙0+c3∙0+d3=0
stąd d3=0
N3a,0=0
a3∙a+...
Foxed