pri03.pdf

(156 KB) Pobierz
Podróże po Imperium Liczb
Część 04.
Liczby
Pierwsze
Rozdział 3
3. Liczby pierwsze szczególnej postaci
Andrzej Nowicki 19 marca 2012,
http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spis treści
3 Liczby pierwsze szczególnej postaci
3.1 Liczby pierwsze Germain . . . . .
3.2 Liczby postaci p
±
n
2
. . . . . . .
3.3 Pary liczb pierwszych bliźniaczych
3.4 Czworaczki, pięcioraczki, itp . . .
3.5 Liczby pierwsze postaci n
2
+ 1 . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
36
38
38
41
42
A
Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze L TEX.
Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie
autora:
http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.
3
Liczby pierwsze szczególnej postaci
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
3.1
Liczby pierwsze Germain
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Mówimy, że liczba pierwsza
p
3 jest liczbą
pierwszą Germain
jeśli 2p + 1 jest również
liczbą pierwszą. Marie Sophie Germain (1776−1831), matematyczka francuska, zajmowała się
tego rodzaju liczbami pierwszymi. Udowodniła, że jeśli liczba naturalna
n
3 ma dzielnik
n
+
y
n
=
z
n
nie ma naturalnych
pierwszy rozpatrywanej postaci, to równanie Fermata
x
rozwiązań (patrz [Sha93] Theorem 65 strona 155).
10
5072
W 1996 roku największą zananą liczbą pierwszą Germain była liczba
p
= 8069496435
·
−
1, posiadająca 5082 cyfry ([Ca07]).
Największą znaną od 2002 roku taką liczbą pierwszą jest
p
= 1 213 822 389
·
2
81131
−
1.
Liczba ta ma 24 432 cyfry. Znaleźli ją M. Angel, D. Augustin i P. Jobling ([Nar03] 215).
Nie wiemy czy takich liczb jest nieskończenie wiele ([Nar03] 215).
3.1.1.
Istnieje
9
liczb pierwszych Germain mniejszych od
100.
Są to:
3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83
oraz
89.
3.1.2.
Niech
G(n)
oznacza liczbę wszystkich liczb pierwszych Germain mniejszych od
n.
Przy-
kłady:
G(100)
= 9,
G(1000)
= 36,
G(10000)
= 189,
G(100000)
= 1170.
(Maple)
.
3.1.3.
Niech
n
∈
N.
Liczba
2n + 1
nie jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby
naturalne
a
i
b
takie, że
n
= 2ab +
a
+
b.
D.
Jeśli
n
= 2ab +
a
+
b,
to 2n + 1 nie jest liczbą pierwszą, gdyż 2n + 1 = 4ab + 2a + 2b + 1 =
(2a + 1)(2b + 1). Załóżmy teraz, że 2n + 1 nie jest liczbą pierwszą. Istnieją wtedy liczby naturalne
u
i
v
takie, że 2n + 1 =
uv
i 1
< u <
2n + 1, 1
< v <
2n + 1. Liczby
u
i
v
są oczywiście nieparzyste. Zatem
u
= 2a+1 i
v
= 2b+1 dla pewnych
a, b
∈
N.
Mamy więc 2n+1 =
uv
= (2a+1)(2b+1) = 4ab+2a+2b+1
i stąd
n
= 2ab +
a
+
b.
3.1.4.
Rozpatrzmy tablicę liczbową
4
7
10
13
...
7
12
17
22
...
10
17
24
31
...
13
22
31
40
...
16
27
38
49
...
19
32
43
58
...
...
...
...
...
...
w której liczby są wypisane przy pomocy oczywistej reguły. Wykazać, że liczba naturalna
n
występuje w tej tablicy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
2n + 1
nie jest pierwsza.
([Gio] 12)
.
36
Andrzej Nowicki, Liczby pierwsze.
3. Liczby pierwsze szczególnej postaci
37
D.
Wynika to z 3.1.3, gdyż każda liczba
n
występująca w tej tablicy jest postaci (2a + 1)b +
a,
czyli
n
= 2ab +
a
+
b,
gdzie
a, b
∈
N.
Ponadto, każda liczba naturalna postaci 2ab +
a
+
b
jest w tej
tablicy.
3.1.5.
Żadna liczba pierwsza postaci
3k + 1
nie jest liczbą pierwszą Germain.
3.1.6.
Żadna liczba pierwsza postaci
5k + 2
lub
7k + 3
nie jest liczbą pierwszą Germain.
Jeśli
p
jest nieparzystą liczbą pierwszą, to definiujemy ciąg (x
n
), przyjmując
x
0
=
p,
x
n+1
= 2x
n
+ 1.
Mamy wtedy:
x
0
=
p, x
1
= 2p + 1,
x
2
= 4p + 3,
x
3
= 8p + 7 i ogólnie
x
n
= 2
n−1
p
+ 2
n−1
−
1.
Mówić będziemy, że
p
jest liczbą [s]-pierwszą (gdzie
s
0) jeśli wszystkie liczby
x
0
, . . . , x
s
są pierwsze i liczba
x
s+1
nie jest pierwsza. W szczególności liczba
p
jest [0]-pierwsza jeśli jest
pierwsza i nie jest liczbą pierwszą Germain. Jeśli
p
jest [s]-pierwszą liczbą, gdzie
s >
0, to
wszystkie liczby
x
0
, x
1
, . . . , x
s−1
są pierwsze Germain i liczba pierwsza
x
s
nie jest Germain.
Liczba 3 jest [1]-pierwsza. Mamy bowiem
x
0
= 3,
x
1
= 7 oraz
x
2
= 15
∈
P.
Liczba 5 jest
[3]-pierwsza, gdyż liczby
x
0
= 5,
x
1
= 11,
x
2
= 23,
x
3
= 47 są pierwsze i liczba
x
4
= 95 nie
jest pierwsza. Najmniejszą liczbą [2]-pierwszą jest 11.
3.1.7.
Istnieją tylko trzy liczby
[2]-pierwsze
mniejsze od
1000.
Są to
11, 41
i
719.
Istnieje
30
liczb
[2]-pierwszych
mniejszych od
10 000
oraz
168
mniejszych od
100 000.
(Maple)
.
3.1.8.
Jeśli
p >
5
jest liczbą
[s]-pierwszą,
gdzie
s
3,
to ostatnią cyfrą liczby
p
jest
9.
D.
Liczba
p
może być postaci 10k + 1, 10k + 3, 10k + 7 lub 10k + 9. Niech
x
0
=
p, x
1
= 2p + 1,
x
2
= 2(2p + 1) + 1 = 4p + 3 i
x
3
= 2(4p + 3) + 1 = 8p + 7. Jeśli
p
= 10k + 1, to
x
3
= 8(10k + 1) + 7 =
80k + 15
∈
P.
Jeśli
p
= 10k + 3, to
x
2
= 4(10k + 3) + 3 = 40k + 15
∈
P.
Jeśli
p
= 10k + 7, to
x
1
= 2(10k + 7) + 1 = 20k + 15
∈
P.
Zatem jedynie
p
może być postaci 10k + 9.
3.1.9.
Istnieją trzy liczby
[3]-pierwsze
mniejsze od
1000.
Są to
5, 359
i
509.
Istnieje
8
liczb
[3]-pierwszych
mniejszych od
10 000
oraz
29
mniejszych od
100 000.
(Maple)
.
3.1.10.
Najmniejszą liczbą
[4]-pierwszą
jest
179.
Istnieje
5
liczb
[4]-pierwszych
mniejszych
od
100 000.
Są to
179, 53 639, 53 849, 61 409
i
66 749.
(Maple)
.
3.1.11.
Najmniejszą liczbą
[5]-pierwszą
jest
89.
Istnieje
5
liczb
[5]-pierwszych
mniejszych od
miliona. Są to
89, 63 419, 127 139, 405 269
i
810 809.
(Maple)
.
3.1.12.
Najmniejszą liczbą
[6]-pierwszą
jest
1 122 659.
Liczby
2 164 229, 2 329 469
i
10 257 809
też są
[6]-pierwsze.
(Maple)
.
3.1.13.
Najmniejszą liczbą
[7]-pierwszą
jest
19 099 919.
Liczby
52 554 569
i
171 729 539
też są
[7]-pierwsze.
(Maple)
.
38
Andrzej Nowicki, Liczby pierwsze.
3. Liczby pierwsze szczególnej postaci
3.1.14.
Najmniejszą liczbą
[8]-pierwszą
jest
85 864 769.
Liczby
198 479 579
i
305 192 579
też
są
[8]-pierwsze.
(Maple)
.
3.1.15.
Nie istnieje nieskończony ciąg
q
1
, q
2
, . . .
liczb pierwszych taki, że
q
n+1
= 2q
n
±
1
dla
n
∈
N.
([Mon] E2648)
.
N. MacKinnon,
Sophie Germain,
[MG] 74(470)(1990) 346-351.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
3.2
Liczby postaci p
±
n
2
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
3.2.1.
Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, których nie można przedstawić w po-
staci
p
+
n
2
, gdzie
p
jest liczbą pierwszą i
n
∈
N.
([Fom] 17/79)
.
R.
Takimi liczbami są np. wszystkie liczby postaci (3k + 2)
2
. Jeśli (3k + 2)
2
=
n
+
p,
to
p
=
(3k + 2
−
n)(3k
+ 2 +
n).
Wtedy 3k + 2
−
n
= 1, czyli
p
= 3k + 2 +
n
= 3k + 2 + 3k + 1 = 6k + 3, czyli
3
|
p.
3.2.2.
Istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych
n,
że dla każdej liczby pierwszej
p
liczba
p
2
+
n
jest złożona.
([Balt] 1999)
.
3.2.3.
Dla każdej liczby pierwszej
p >
3
istnieją liczby naturalne
m < n <
p
−
n
2
|
p
−
m
2
.
([Zw] 1996)
.
√
p
takie, że
3.2.4.
Niech
p >
5
będzie liczbą pierwszą i niech
X
=
p
−
n
2
;
n
∈
N,
n
2
< p .
Wykazać,
że zbiór
X
zawiera dwie różne liczby
x
i
y
takie, że
x
|
y, x
= 1.
([Balk] 1996, [Crux] 1997 s.355)
.
3.2.5.
Niech
n >
9.
Następujące dwa warunki są równoważne.
(1)
n
jest liczbą pierwszą.
(2)
Żadna z liczb
n, n
+ 1
2
, n
+ 2
2
, . . . , n
+
r
2
, gdzie
r
= [(n
−
9)/6],
nie jest liczbą
kwadratową.
([S50] 26)
.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
3.3
Pary liczb pierwszych bliźniaczych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Jeśli liczby
p
i
p
+ 2 są pierwsze, to (p,
p
+ 2) nazywamy
parą liczb pierwszych bliźniaczych.
Przykłady: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19). Angielska nazwa to
twin primes.
3.3.1.
Nie wiadomo, czy par liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.
3.3.2
(Jing-Run Chen 1966).
Istnieje nieskończenie wiele par postaci
(p,
p
+ 2),
gdzie
p
jest
liczbą pierwszą i
p
+ 2
jest albo liczbą pierwszą albo iloczynem dwóch liczb pierwszych.
([KiM], [Sil1] 85)
.
3.3.3.
(10007, 10009)
oraz
(1000000007, 1000000009)
są parami liczb pierwszych bliźnia-
czych.
3.3.4
(Dubner 1985).
Parą liczb pierwszych bliźniaczych jest para
(p,
p
+ 2),
gdzie
p
=
107570463
·
10
2250
−
1.
([KiM])
.
Andrzej Nowicki, Liczby pierwsze.
3. Liczby pierwsze szczególnej postaci
39
3.3.5.
W
1996
roku największą znaną parą liczb pierwszych bliźniaczych była para
(p,
p
+ 2),
gdzie
p
= 42206083
·
2
38880
−
1; (liczba
cyfr
= 11713).
Parę tę odkryli w
1995
roku Indlekofer
i Ja’rai.
([Ca07])
.
3.3.6.
Niech
h(n)
oznacza liczbę wszystkich par liczb pierwszych bliźniaczych
(p,
p+2)
takich,
że
p < n.
Przykłady:
h(100)
= 8,
h(500)
= 24,
h(1000)
= 35,
h(2000)
= 61,
h(3000)
= 82,
h(5000)
= 126,
h(10
000) = 205,
h(100
000) = 1224,
h(500
000) = 4565,
h(1
000 000) = 8169.
(Maple)
.
3.3.7.
Liczby liczb pierwszych i par liczb pierwszych bliźniaczych w przedziale
[10
n
,
10
n
+
150 000].
n
0
1
2
3
4
5
6
7
p
13847
13845
13834
13765
13454
12452
10804
9348
b
1701
1699
1694
1676
1596
1364
1073
789
n
8
9
10
11
12
13
14
15
p
8154
7242
6511
5974
5433
5065
4643
4251
b
601
466
389
276
276
208
186
161
Prawą tabelkę przepisano z [Kw] 4/8712.
3.3.8
(R.P. Brent 1976).
Wszystkich par liczb pierwszych bliźniaczych, mniejszych od
10
11
,
jest
224 376 048.
([KiM])
.
3.3.9.
Jeśli
p, q
∈
P,
to
(p,
q)
jest parą liczb pierwszych bliźniaczych wtedy i tylko wtedy, gdy
pq
+ 1
jest liczbą kwadratową.
([Jedr] B.58)
.
3.3.10.
Jeśli
(p,
p
+ 2)
jest parą liczb pierwszych bliźniaczych, to liczba
7p + 4
jest złożona.
([Jedr] B.66)
.
3.3.11.
Jeśli liczby
p >
3
i
p
+ 2
są pierwsze, to
6
|
p
+ 1.
([OM] Kanada 1973)
.
([S59] 325)
.
3.3.12.
Jeśli liczby
p >
2
i
p
+ 2
są pierwsze, to
240
|
(p
−
1)(p + 1)(p + 3).
3.3.13.
Jeśli liczby
p
i
p
+ 2
są pierwsze, to istnieje ciąg kolejnych liczb całkowitych
(więcej
niż jednej), których iloczyn przy dzieleniu przez
p(p
+ 2)
ma resztę
p
2
+
p
−
1.
([Zw] 2003)
.
3.3.14.
Dla każdej liczby naturalnej
n
istnieje liczba pierwsza
p > n
taka, że liczba
p
+ 2
jest
złożona.
([S50] 25)
.
3.3.15.
Dla każdej liczby naturalnej
n
istnieje liczba pierwsza
p > n
taka, że liczby
p
+ 2
i
p
−
2
są złożone.
([S50] 25, 79)
.
W.
Liczby pierwsze postaci 15k + 8 mają tę własność.
3.3.16.
Jeśli
(p,
q)
jest parą liczb pierwszych bliźniaczych, to
p+q
jest iloczynem co najmniej
trzech liczb pierwszych.
([Balt] 1992)
.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin