7.pdf

(512 KB) Pobierz
ZADANIA MATURALNE -
TRYGONOMETRIA
PP – poziom podstawowy
Opracowała – mgr Danuta Brzezioska
Zad. 1. (PP – 3 pkt)
Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15
cm
wysokości
każdy. Postanowiono zbudowad podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu
7
0
. Oblicz długośd
podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10
cm.
Zad. 2. (PP – 2 pkt)
Sprawdź prawdziwośd równości:
1
cos
�½
tg
sin
tg
gdy
oznacza miarę kąta ostrego.
Zad. 3. ( PP – 3pkt )
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długośd 12, a cosinus jednego z kątów ostrych
wynosi
2
. Oblicz długośd wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
3
Zad. 4. (PP – 3 pkt)
Sprawdź prawdziwośd równości:
1
cos
�½
tg
sin
k
,
k
C
.
tg
2
Zad. 5. ( PP – 4pkt )
Udowodnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długośd 24, a kąty
ostre
i
są takie, że
cos
�½
Zad.6 . ( PP – 2pkt )
Kąt jest ostry i
3
4
i
4
tg
�½
.
3
.
= 2. Oblicz wartośd wyrażenia
Zad. 7. ( PP – 2pkt )
Wykaż, że jeżeli
jest kątem ostrym i
=2, to
jest liczbą niewymierną.
Opracowała – D. Brzezińska
1
ZADANIA MATURALNE -
TRYGONOMETRIA
PR – poziom rozszerzony
Opracowała – mgr Danuta Brzezioska
Zad.1. ( PR - 4 pkt)
Wiedząc, że
tg
�½ 
2
i
0;
oblicz, bez użycia tablic i kalkulatora, wartości pozostałych funkcji
trygonometrycznych kąta
.
Zad. 2. ( PR – 3 pkt )
Wiedząc, że
0
0
360
0
, sin
0
oraz
4
tg
�½
3 sin
2
3 cos
2
a) oblicz
tg
,
b) Zaznacz w układzie współrzędnych kąt
i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od
początku układu współrzędnych, który leży na koocowym ramieniu tego kąta.
Zad. 3. ( PR – 5 pkt )
a) Sprawdź, czy równośd
Jest tożsamością trygonometryczną.
b) Udowodnij, że jeśli
i
są dwoma kątami trójkąta i
ten jest trójkątem prostokątnym lub równoramiennym.
Zad. 4. ( PR – 4 pkt )
Wykaż, że
, to trójkąt
.
Zad. 5. ( PR – 4 pkt )
a) Naszkicuj wykres funkcji
y
�½
sin 2
x
w przedziale
b) Naszkicuj wykres funkcji
y
�½
2
, 2
.
2
, 2
i zapisz, dla których liczb z
sin 2
x
sin 2
x
w przedziale
tego przedziału spełniona jest nierównośd
sin 2
x
sin 2
x
0.
Zad. 6. ( PR – 7 pkt )
Narysuj wykres funkcji
f
określonej wzorem
x
sin ,
x
2
2
f
x
�½ 
.
x
2 ,
x
2
Zad. 7. ( PR – 6 pkt )
Dana jest funkcja
f
x
�½
sin
2
x
cos
x
dla
x
R
.
b) Wyznacz największą wartośd funkcji
f.
Zad. 8. ( PR – 3 pkt )
Dana jest funkcja
f
określona wzorem
f
x
�½
a) Naszkicuj wykres funkcji
f.
a) Rozwiąż równanie
f
x
�½
1
w przedziale
0, 2
.
sin
2
x
sin
x
sin
x
dla
x
0,
, 2
.
Opracowała – D. Brzezińska
2
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji
f.
Zad. 9. ( PR – 4pkt )
Dana jest funkcja
f
x
�½
2 sin
2
x
1
,
x
R
.
a) Narysuj wykres funkcji
f.
b) Rozwiąż równanie
f
x
Zad.10 . ( PR – 4 pkt )
�½
0
3
x
R
.
Dana jest funkcja określona wzorem
f
x
�½
cos
x
3 sin
x
,
a) Naszkicuj wykres funkcji
f.
b) Rozwiąż równanie:
f
x
�½
1
.
Zad.11. ( PR – 4 pkt)
Wyznacz
najmniejszą
i
największą
wartośd
funkcji
f
określonej
wzorem:
f
x
�½
sin 2
x
cos
 
2
x
. Odpowiedź uzasadnij.
6
Zad. 12. ( PR)
Dla
x
0;2
rozwiąż równanie sin3x = 1.
Zad. 13. ( PR – 5 pkt.)
Rozwiąż równanie
2 cos
2
x
5 sin
x
4
�½
0
.
Zad. 14. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż równanie:
Zad.15. (PR – 6 pkt)
Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania
1
ctgx
cos
 
x
 �½
0
sin x
2
sin 3x
�½
ctg
25
,
które spełniają nierównośd
2
x
5
5
.
Zad. 16. ( PR )
Dla
x
0;2
rozwiąż równanie
sin x
sin 3x
sin 5x
�½
0
.
Zad. 17. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż równanie
4 cos
2
x
�½
4 sin x
1
w przedziale
0, 2
.
Zad. 18. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż równanie
-
= 1-
w przedziale
0, 2
.
Zad. 19. ( PR – 6pkt )
Rozwiąż równanie
tgx(
2sinxcosx +
cosx
) = 0 w przedziale
, 2
.
Zad. 20. ( PR – 4 pkt )
Rozwiąż równanie
2 cos
2
x
5 sin
x
4
�½
0
w przedziale
0, 2
.
Opracowała – D. Brzezińska
3
Zad. 21. ( PR – 4 pkt )
W przedziale
0, 2
rozwiąż równanie
Zad. 22. ( PR – 5 pkt )
Określ, jaką liczbą – dodatnią czy ujemną, jest
i
.
wiedząc, że
.
Zad.23. ( PR )
Wykaż, że równanie
tgx
ctgx
�½
1
nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zad. 24. ( PR - 7 pkt )
Dane jest równanie postaci
cos
x
1
cos
x
p
1
�½
0,
gdzie
p R
jest parametrem.
a) Dla
p
= - 1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału
trzy różne rozwiązania.
Zad.25.(PR )
Korzystając z informacji, że jeśli
n
2
to dla każdego kąta
0;
0;5
.
;
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru
p,
dla których dane równanie ma w przedziale
2
n
zachodzi nierównośd:
sin
n
n
sin
sprawdź, że
sin 10
0
1
1
oraz
sin 6
0
6
10
Zad. 26. ( PR – 8 pkt)
Rozwiąż równanie:
2 sin 2
x
ctgx
�½
4 cos
x
dla
x
0;2
. Ze zbioru rozwiązao tego równania
losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieostwo zdarzenia, że co najmniej jedno z
wylosowanych rozwiązao jest wielokrotnością liczby
.
2
Zad.27.( PR – 5 pkt)
Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt ABC ( o podstawie AC ) oraz
prostokątny równoramienny trójkąt BDC. Uzasadnij, że cos(
ACD) <
C
1
2
A
B
D
Zad. 28. (PR - 4 pkt)
Dany jest trójkąt, którego boki mają długości 8
cm
i 12
cm,
kąt zawarty między tymi bokami ma miarę
120
0
. Oblicz długośd okręgu opisanego na tym trójkącie.
Opracowała – D. Brzezińska
4
Zad. 29. (PR – 3 pkt)
Liczby
i
są miarami kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Wykaż, że
cos
cos
1
.
Zad. 30. ( PR – 5 pkt)
Latarnia morska jest w punkcie P. Statek zbliża się do brzegu. Kapitan obserwuje latarnię morską z
1
. Po przepłynięciu 500 m w kierunku latarni
10
1
kapitan widzi ją z punktu B pod kątem
takim, że
tg
�½
. Oblicz odległośd punktu B od punktu P
8
punktu A i widzi ja pod kątem
takim, że
tg
�½
przy założeniu, że punkty A, B i P należą do jednej prostej.
Opracowała – D. Brzezińska
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin