Mechanika Kwantowa - wyklad dla fizyki medycznej.pdf

(850 KB) Pobierz
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki
medycznej II
Mechanika kwantowa
Robert Alicki
8 października 2014
Spis treści
1 Wstęp
2 Mechanika falowa pojedynczej cząstki. Ruch w jednym
2.1 Od równania Schrödingera do równania Newtona . . . .
2.2 Operatory położenia, pędu i Hamiltona . . . . . . . . . .
2.3 Niezależne od czasu równanie Schrödingera . . . . . . . .
2.4 Reprezentacja pędowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Zasada nieoznaczoności Heisenberga . . . . . . . . . . . .
2.6 Rozpływanie się paczki falowej . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Prostokątna studnia potencjału . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Stany związane . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Stany rozproszeniowe . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Prostokątna bariera potencjału. Zjawisko tunelowania . .
2.9 Model rozpadu
α
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wymiarze
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
3
9
9
10
12
13
14
15
17
17
20
20
21
22
26
26
27
28
29
30
31
31
33
33
36
36
37
37
40
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Formalizm matematyczny mechaniki kwantowej
3.1 Cząstka w przestrzeni 3-wymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Operatory pędu i translacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Obroty i kwantowy moment pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Spin elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Układy cząstek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Formalizm przestrzeń Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Stany układu jako wektory w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . .
3.4.3 Wielkości mierzalne (obserwable) jako operatory hermitowskie . . .
3.4.4 Obserwable współmierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Ogólna zasada nieoznaczoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Metody przybliżone wyznaczania stanów własnych i energii hamiltonianów
3.5.1 Rachunek zaburzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
4 Teoria budowy atomu
4.1 Atom wodoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Ruch w polu o symetrii sferycznej . . . . . . . .
4.1.2 Jon wodoropodobny . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Poprawki do energii atomu wodoru . . . . . . .
4.1.4 Oznaczenia poziomów w spektroskopii atomowej
4.1.5 Dodawanie momentów pędu . . . . . . . . . . .
4.2 Tablica Mendelejewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Natura wiązania chemicznego i budowa cząsteczek
5.1 Molekuła wodoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
5.1.1 Jon
H
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Molekuła
H
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Przybliżenie Borna-Oppenheimera . . . . . . . . . . .
5.3 Elementarna teoria wiązań chemicznych . . . . . . . .
5.3.1 Typy wiązań chemicznych . . . . . . . . . . .
5.3.2 Struktura chemiczna . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
42
42
44
46
48
48
49
51
51
52
54
55
57
57
58
59
59
59
62
64
65
66
67
68
71
71
73
74
74
75
76
77
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Elementy kwantowej teorii ciała stałego
6.1 Teoria pasmowa ciał stałych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Ruch elektronu w 1D- potencjale periodycznym . . .
6.1.2 Elektron w sieci trójwymiarowej . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Metale, dielektryki i półprzewodniki . . . . . . . . . .
6.2 Fonony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Oscylator harmoniczny. Operatory kreacji i anihilacji
6.2.2 Stany koherentne oscylatora harmonicznego . . . . .
6.2.3 Drgania atomów w krysztale . . . . . . . . . . . . . .
7 Oddziaływanie fotonów z materią
7.1 Kwantowy opis pola elektromagnetycznego . . . . . .
7.2 Oddziaływanie atomu z polem elektromagnetycznym
7.2.1 Hamiltonian kwantowy dla atomu i pola . . .
7.2.2 Przybliżenie dipolowe . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Emisja spontaniczna . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Emisja wymuszona i absorpcja . . . . . . . . .
7.2.5 Reguły wyboru i promieniowanie multipolowe
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Dodatki matematyczne
78
8.1 Delta Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 Transformata Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2
Rozdział 1
Wstęp
Cześć pierwsza wykładu
Podstawy fizyki teoretycznej dla fizyki medycznej
miała na celu przed-
stawienie formalizmu matematycznego mechaniki klasycznej i elektrodynamiki, które stanowiły
fundament fizyki klasycznej i zostały sformułowane w dojrzałej postaci głównie w wieku XIX
za wyjątkiem szczególnej i ogólnej teorii względności Einsteina powstałych na początku XX w.
Mechanika klasyczna opisuje materię jako zbiór cząstek - zlokalizowanych obiektów o okre-
ślonej masie i poruszających się po określonych trajektoriach. Ruch ten jest całkowicie zdeter-
minowany i opisany przez odpowiednie równania różniczkowe (Newtona , Eulera-Lagrange’a,
Hamiltona,..) zawierające oddziaływania elektromagnetyczne i grawitacyjne a także inne fe-
nomenologiczne rodzaje sił. Z drugiej strony energia może przybierać postać promieniowania
elektromagnetycznego. Promieniowanie to ma postać fal w sposób ciągły wypełniających prze-
strzeń, których dynamika opisana jest równaniami Maxwella. Można powiedzieć, że cząstki
i pola stanowiły dwie całkowicie różne formy energii oddziałujące ze sobą w taki sposób, że
zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu były spełnione.
Liczne eksperymenty przeprowadzone na przełomie XIX i XX wieku a także poważne we-
wnętrzne sprzeczności fizyki klasycznej doprowadziły do rewolucji naukowej i narodzin
fizyki
kwantowej.
Pierwszym krokiem na tej drodze była hipoteza Maxa Plancka (1900 r.), który
przyjął, że promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane i pochłaniane w postaci porcji
(kwantów) energii określonych formułą
E
=
h�½
≡
ω,
h
= 6, 62606876(±0, 00000052)
×
10
−34
J
·
s,
=
h
,
2π
(1.1)
gdzie
�½
jest częstością promieniowania a
h
nosi nazwę
stałej Plancka.
Hipoteza ta umożliwiła
Planckowi wyjaśnienie obserwowanej zależności gęstości energii
u(�½)
od częstości i temperatury
T
dla pola elektromagnetycznego w równowadze termodynamicznej
8π�½
2
h�½
u(�½)
=
2
h�½/k T
,
B
c e
−
1
k
B
−
stała Boltzmanna,
c
−
prędkość światła
(1.2)
gdzie
k
B
to stała Boltzmanna a
c
- prędkość światła. Kwantowanie energii dla ruchu periodycz-
nego o częstości
�½
zgodnie z formułą (1.1) pozwoliło także wyjaśnić obserwowane zależności
ciepła właściwego ciał stałych a także gazów składających się z molekuł dwu-atomowych. Za-
3
gadnienia te będą dokładniej omówione na wykładzie
Biotermodynamika z elementami fizyki
statystycznej.
O ile dla Plancka formuła (1.1) miała charakter matematycznej hipotezy to Einstein ana-
lizując
efekt fotoelektryczny
doszedł do wniosku, że w pewnych sytuacjach monochromatyczne
promieniowanie elektromagnetyczne o częstości kołowej
ω
i wektorze falowym
k
należy trakto-
wać jako strumień cząstek (fotonów), z których każdy ma określoną energię
E
i pęd
p
powiązane
relacjami
E
=
ω,
p
=
k.
(1.3)
Relacje te łączą ze sobą własności
korpuskularne
i
falowe
promieniowania elektromagnetyczne-
go.
O ile pierwsza formuła to wzór (1.1) to druga jest konsekwencją faktu, że w teorii relaty-
wistycznej zarówno
(
E
,
p)
jak i
(
ω
,
k)
tworzą relatywistyczne czterowektory. Oznacza to, że
c
c
związek energii z częstością kołową pociąga za sobą podobny związek między pędem i wekto-
rem falowym. Ponadto związek dyspersyjny
ω
=
c|k|
dla fal elektromagnetycznych w próżni
implikuje
E
2
−
c
2
p
2
= 0,
co oznacza, że masa fotonu jest równa zero i cząstki takie poruszają
się z prędkością światła.
Koncepcja dwoistej natury (tzw.
dualizmu korpuskularno-falowego)
światła została rozsze-
rzona na całą materię przez Louisa de Broglie’a, który przyjął, że każdej swobodnej cząstce
o masie
m
i ustalonym pędzie
p
odpowiada fala płaska (fala
materii
) o wektorze falowym i
częstości opisanych związkami Plancka (1.3). Pamiętając o relatywistycznym związku między
energią, pędem i masą swobodnej cząstki
E
2
−
c
2
p
2
=
m
2
c
4
otrzymamy związek dyspersyjny dla parametrów fali de Broglie’a
ω(k)
=
c
2
k
2
+
m
2
c
4
2
(1.4)
,
k
≡ |k|.
ω
k
(1.5)
Wynika z niego, że chociaż prędkość fazowa fali płaskiej
v
f
≡
to prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki
∂ω
c
2
k
c
2
p
v
g
≡
=
=
=
v < c,
∂k
ω
E
jest wyższa od prędkości światła
p
≡ |p|
m
.
1−v
2
/c
2
(1.6)
Jest to
gdzie wykorzystaliśmy relatywistyczne związki
E
=
m
v
c
2
,
p
=
m
v
v
i
m
v
=
√
zgodne ze szczególną teorią względności, gdyż to prędkość grupowa opisuje ruch zlokalizowanej
paczki falowej,
a więc z tą prędkością przenoszona jest energia i informacja.
Największym sukcesem teorii de Broglie’a było wyjaśnienie reguł kwantyzacji tzw.
starej
teorii kwantów.
W teorii tej stworzonej przez Bohra i Sommerfelda tylko orbity elektronu w
atomie spełniające warunek kwantyzacji
p
k
dq
k
=
n
k
h,
4
n
k
= 0, 1, 2,
...
(1.7)
∂S

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin