kol_zal_algebra_ETI_EiT_2011-12.pdf

(65 KB) Pobierz
Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Wiadomo, że
0 1 2
−1
T
B
·
A
=
0 3 5
.
−1
1 1
Znaleźć taką macierz
X,
aby spełniała ona równanie
A
T
·
X
·
B
−1
= 2I.
[2p.] b) Dana jest macierz
A
wymiaru 3
×
2 i macierz nieosobliwa
B
stopnia 3.
Które z iloczynów:
B
2
A
T
,
AA
T
B
−1
,
B
−1
AB
T
, (AA
T
)
2
istnieją? Odpowiedź uzasadnić.
2. [7p.] Rozwiązać nierówność
0
−1 −1 −1
2
x
x
x
0 1
1
2
x
−1
1
<
3
−
6x
2
1
2
0
1 1
2
1
1
1 0
3. [7p.] a) W zależności od parametru
λ
podać liczbę rozwiązań układu równań
x
+
λy
+
z
= 1
2x +
y
+
z
=
λ
x
+
y
+
λz
=
λ
2
[2p.] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera
n
równań z
n
niewiadomymi,
gdzie
n
jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedź uzasadnić.
............................................................................................
4. [7p.] a) Wykazać,
proste
l
1
i
l
2
że
x
= 2 + 4t
x
−
7
y
−
2
z
, t
∈
R,
i
l
2
:
l
1
:
y
=
−6t
=
=
−6
9
12
z
=
−1 −
8t
są równoległe. Obliczyć odległość między nimi i wyznaczyć równanie płaszczyzny, w której one
leżą.
[2p.] b) Sprawdzić, czy punkty
A(1,
3, 0),
B(2,
4, 5),
C(3,
5, 9) i
D(0,
1, 2) należą do jednej
płaszczyzny.
(i
−
1)
6
√
. Obliczyć
|z|
oraz Argz.
5. [4p.] a) Niech
z
=
(1 + 3i)
8
[3p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
dz
,
(z
2
+ 1)
2
C
gdzie
C
jest okręgiem
|z
+
i|
= 1 zorientowanym dodatnio.
−s
3
+ 5s
2
+ 6s + 15
6. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F
(s) =
.
s
4
+ 2s
3
+ 5s
2
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji potęgowej
f
(t) =
t
n
.
............................................................................................
7. *) [dla
chętnych]
[5p.] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający najmniejszej
dodatniej z wyznaczonych wartości własnych macierzy
1
0
0
2
0
.
A
=
2
−1 −1 −1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin