mat08_zeszyt_cwiczen_dla_ucznia.doc

Zeszyt ćwiczeń

INWERSJA NA PŁASZCZYZNIE

Andrzej Fryszkowski
Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Literatura:

H.S.M. Coxeter, Wstep do Geometrii Dawnej i Nowej, PWN 1967.

V. Prasolov, Problems in Plane and Solid Geometry (Internet).

Zadania:

1.        Opisać analitycznie inwersję .

2.        Zbadać, jakie mogą być obrazy okręgu i prostej do niego stycznej w inwersji względem okręgu O(S, r).

3.        Wykazać, że okręgi styczne O1  i O2 przechodzą w inwersji względem okręgu O = O(S, r) albo na okręgi styczne albo na okrąg i prostą do niego styczną albo na parę prostych równoległych.

4.        Wykazać, że jeżeli proste k i l przecinają się pod kątem a, to obrazy tych prostych w inwersji względem okręgu O(S, r) też przecinają się pod kątem a.

5.        Wykazać, że jeżeli okręgi O1 i O2 przecinają się pod kątem a, to obrazy tych okręgów w inwersji względem okręgu O (S, r) też przecinają się pod kątem a.

6.        Wykazać, że jeżeli okręgi O1 i O2 przecinają się pod kątem 90°, to ich obrazy w inwersji względem okręgu O (S, r) też przecinają się pod kątem 90°.

7.        Niech okręgi O1 i O2 będą do siebie prostopadłe. Wykazać, że wtedy okrąg
O2 przechodzi na siebie w inwersji względem O1.

8.        Wykorzystując pojęcie inwersji wykazać twierdzenie Ptolemeusza: Niech PQRS będzie czworokątem wpisanym w okrąg. Wtedy

9. Okręgi O1,..., On są styczne do rozłącznych okręgów S1 i S2. Ponadto O1 jest styczny do O2 w punkcie A1, O2 jest styczny do O3 w punkcie A2, ... , On-1 jest styczny do On w punkcie An-1. Wykazać, że punkty A1 ..., An-1 leżą na jednym okręgu.

10. Wykazać następujące twierdzenie Feuerbacha:             
Okrąg przechodzący przez środki boków trójkąta jest styczny do okręgu wpisanego i do trzech okręgów dopisanych.

Rozwiązania

1. Opisać analitycznie inwersję.

Rozwiązanie:

Rozważmy w układzie 0xy inwersje O (S, r), gdzie S = (p, q). Dowolny punkt
A = (x,y) ≠ S przechodzi na taki punkt A' = (x',y') ∈ lSA, że |SA| • |SA '| = r2. Istnieje zatem t ³ 0, takie, że x ' = p + t (p — x) oraz y' = q + t (q — y). Stąd:

co oznacza, iż:

Otrzymujemy więc analityczny wzór na inwersję

2. Zbadać, jakie mogą być obrazy okręgu i prostej do niego stycznej w inwersji względem okręgu O (S, r).

Rozwiązanie:

Niech dany będzie okrąg O1 = O (A, R) oraz prosta k styczna do O1 w punkcie P. Aby zbadać obrazy inwersyjne O1 i k musimy rozważyć 4 przypadki:

Ad a). Niech B będzie drugim końcem średnicy zawierającej A i P. Obrazem prostej k jest ona sama, a obrazem okręgu O1 - prosta O1' przechodząca przez B ' (jest różny od P) i prostopadła do AB. W takim razie O1' || k.

Ad b) Ponieważ S k to obrazem prostej k jest taki okrąg k' = O (B, R1) zawierający S i P', że lsb k. Obrazem okręguO1 jest prosta O1' przechodząca przez P' i prostopadła do lAS. Ponieważ O1 Ç k = {P}, to O ' Ç k ' = {P'}, to prosta O ' jest styczna do okręgu k ' w punkcie P '.

Ad c). Obrazem prostej k jest ona sama, a obrazem okręgu O1 - okrąg O1' = O(A', R') przechodzący przez P '. Ponieważ okrąg O ' powstaje w jednokładności o środku S (i odpowiedniej skali), to prosta k jest do niego styczna w punkcie P .

Ad d). Ponieważ S ∉ (O1 È k) to obrazem prostej k jest taki okrąg k' = O (B, R1) zawierający S i P', że lSB k. Z kolei obrazem okręgu O1 jest okrąg O1' = O(A', R') przechodzący przez P', w jednokładności o środku S (i odpowiedniej skali) do O1 i taki, że lSP ⊥ lA'P'.

3. Wykazać, że okręgi styczne O1 i O2 przechodzą w inwersji względem okręgu O = O (S, r) albo na okręgi styczne albo na okrąg i prostą do niego styczną albo na parę prostych równoległych.

Rozwiązanie:

Niech P będzie punktem styczności okręgów O1 = O (A1, R1) i O2 = O (A2, R2), a k prostą do nich styczną . Należy rozpatrzyć kilka przypadków.

Jeśli P = S to prosta k jest prostopadła do lA1,A2 . Dlatego obrazy inwersyjne O1' i O2’ są prostymi prostopadłymi do lA1,A2, a więc są do siebie równoległe.

Jeśli P = S i S ∈ O1 È O2, to niech np. S ∈ O1 i S ∈ O2. Wtedy okrąg O1 przechodzi na prostą O1' przechodzącą przez P’ i prostopadłą do lA1P , a okrąg O2 na okrąg O2’ zawierający P' i nie przechodzący przez S. Ponieważ O1 Ç O2 = {P} , to O1’ Ç O2’ = {P'}, a więc prosta O1’ jest styczna do okręgu O2’ w punkcie P’.

Jeśli S ∉ O1 È O2, to okrąg O1 przechodzi na okrąg O1’ zawierający P', którego średnica leży na prostej lA1S, a okrąg O2 na okrąg O2 zawierający P', którego średnica leży na prostej lA2S. Okręgi O1’ i O2’ powstają z jednokładności względem S (w odpowiedniej skali). Ponieważ O1 Ç O2 = {P} to również O1’ Ç O2’ = {P'}, a więc okręgi O1’ i O2’są styczne w punkcie P'.

4. Wykazać, że jeżeli proste k i l przecinają się pod kątem a, to obrazy tych prostych w inwersji względem okręgu O(S, r) też przecinają się pod kątem a.

Rozwiązanie:

Niech proste k i l przecinają się w punkcie P. Zachodzi kilka przypadków.

Jeśli P = S to obrazami inwersyjnymi prostych k i l są one same, a więc kąt jest zachowany. Załóżmy więc, że P ¹ S.

Jeśli S ∈ k ⋃ l, to niech np. S ∈ k oraz S ∉ l. Wtedy obrazem k jest ona sama, a obrazem l - okrąg przechodzący przez S, bez punktu S, przy czym jego średnica leży na prostej l1 prostopadłej do l. Zatem proste k i l1 przecinają się pod kątem
900 - a. Okrąg l' È {S} ma z prostą k dokładnie dwa punkty wspólne S i P '. Stąd
l' Ç k = {P '} . Z twierdzenia o kącie dopisanym, kąt pomiędzy styczną do l' w punkcie P ', a prostą k wynosi 900 — (90° — a) = a.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy S Ï k È l. Niech k1 i l1 będą prostymi prostopadłymi, odpowiednio, do k i l, przechodzącymi przez S. kąt pomiędzy k1 i l...