Krysicki W. - Iksy i Igreki.pdf

(1822 KB) Pobierz
WŁODZIMIERZ KRYSICKI
Ik sy i igreki
Noszo Księgarnia »Warszawa 1989
WSTĘP
Często jeszcze spotkać się można z poglądem, że algebra to to
samo, co działania na wielkościach literowych. Nic bardziej błęd-
negof Identyfikacja algebry z rachunkiem literowym jest, łagodnie
rzecz biorąc, wielkim nieporozumieniem, aczkolwiek rachunek ten
w poważnym stopniu przyczynił się do rozwoju tej dziedziny ma­
tematyki.
Czym zatem jest algebra?
Algebra należy do najstarszych i chyba najobszerniejszych dzia­
łów matematyki. Nazwa jej wywodzi się z tytułu dzieła uczonego
arabskiego Alchwarizmiego (IX w. n.e.) „Hisab al-djabr wa’l-mu-
kabala". Słowa „aldjabr” dotyczą przenoszenia niewiadomej z Jed­
nej strony równania na drugą.
W ciągu wieków algebra przechodziła liczne metamorfozy, roz­
szerzając stale zakres swych zainteresowań. Początkowo była
teorią rozwiązywania równań. Dlatego też w pojęciu klasycznym
rozumiemy algebrę jako naukę o równaniach. Ponieważ zaś ope­
racja (przenoszenie niewiadomej z jednej strony równania na
drugą), od której algebra wzięła swoją nazwę, była bardzo istotna
w rozwiązywaniu równań, nazwa więc była usprawiedliwiona.
Aby rozwiązać równanie, trzeba było rachować na literach, bę­
dących symbolami niewiadomej. Gdy zaś spostrzeżono, że racho­
wać na literach można nie tylko w przypadku, gdy są one niewia­
domymi w równaniach, zaczęto zaliczać do algebry wszelkie roz­
ważania dotyczące rachunków na symbolach zmiennych w prze­
ciwieństwie do rachunku na liczbach szczegółowych, który — jak
wiadomo — należy do arytmetyki. Tak więc pogląd, że algebra to
I
5
teoria rachunku na „liczbach ogólnych”, jest poglądem fałszywym.
Nie ma bowiem „liczb ogólnych”, są tylko zmienne, które w rów­
naniach, ze względu na nasz do nich stosunek, nazywamy niewia­
domymi.
Algebra współczesna w odróżnieniu od algebry klasycznej jest
tak rozwiniętym działem matematyki, że zazębia się właściwie
o wszystkie pozostałe jej dziedziny. Przedmiotem badań algebry
są abstrakcyjne twory takie, jak: grupy, pierścienie, ciała, struk­
tury, algebra Boole’a, przestrzenie wektorowe i in. Wszystkie dzia­
ły algebry współczesnej znajdują szerokie zastosowanie nie tylko
w matematyce, lecz również w fizyce, technice oraz w teorii elek­
tronowych maszyn cyfrowych. Metody algebraiczne stosowane są
z powodzeniem także w logice matematycznej i w dyscyplinach
geometrycznych.
Algebra wykładana w szkole średniej i na wydziałach niemate-
matycznych szkół wyższych obejmuje swym zakresem jedynie
część faktów zaliczanych do algebry klasycznej. Do nich między
innymi należą rozwiązywania równań i ich układów, własności
liczb zespolonych, własności wielomianów oraz nierówności.
Zanim algebra osiągnęła obecny stopień rozwoju, upłynąć mu­
siały dziesiątki stuleci. Początki bowiem stosowania liter w rozwa­
żaniach matematycznych spotykamy już u Egipcjan około 4000
łat temu. Dowodzi tego papirus Rhinda*. Jego autor, Ahmes, na­
dworny pisarz faraona Rha-a-us (ok. 2000—1700 lat p.n.e.), po­
daje jedenaście zadań, których rozwiązanie prowadzi do prostego
równania, gdzie niewiadoma oznaczona została słowem „hau”. Jed­
no z tych zadań ma następującą treść:
„Wchodzę trzykrotnie do naczynia; jedna trzecia mojej wiel­
kości dodana do mnie i jedna trzecia z jednej trzeciej mojej wiel­
kości dodana do mnie, i jeszcze jedna dziewiąta mojej wielkości —
dają jeden”.
„
*
Nawet nie rozwiązując tego zadania, łatwo spostrzegamy, że nie
odbiega ono od dzisiejszej formy przykładów tego typu.
Równania w starożytności rozwiązywali nie tylko Egipcjanie.
Czynili to również dobrze Babilończycy. Przed kilkudziesięciu laty
znaleziono wiele glinianych tabliczek babilońskich pokrytych pis­
* Nazwisko uczonego, który odkrył ten papirus.
6
mem klinowym. Po odczytaniu stwierdzono, że zawierają one
równania matematyczne, przy czym niewiadoma występuje w nich
w drugiej bądź w trzeciej potędze. Mimo że zadania te nie mają
w tabliczkach rozwiązań, należy przypuszczać, iż Babilończycy
dawali sobie z tym doskonale radę. Jest to fakt zdumiewający.
Upłynąć bowiem musiało od tamtych czasów aż trzy tysiące lat,
by znaleźli się kontynuatorzy Babilończyków w dziedzinie rów­
nań trzeciego stopnia.
Równaniami pierwszego stopnia, ich układami, a także równa­
niami drugiego stopnia zajmowali się także Chińczycy, i to już
prawdopodobnie
2000
lat przed naszą efą.
Do rozwoju koncepcji używania liter, a tym samym do później­
szego rozwoju algebry przyczynili się również Grecy, przede
wszystkim zaś żyjący w HI stuleciu n.e. wybitny matematyk Dio-
fantos z Aleksandrii. Główne jego dzieło „Arytmetyka”, z które­
go zachowało się sześć ksiąg z prawdopodobnie napisanych trzy­
nastu, zawiera 189 równań wraz z rozwiązaniami. Są to przeważ­
nie równania nieoznaczone, a więc mające na ogół wiele rozwią­
zań. Ogólnie „Arytmetyka” Diofantosa jest dowodem genialnych
osiągnięć algebraicznych tego matematyka. Rozwiązuje on rów-
niania do trzeciego stopnia włącznie w zakresie znacznie szerszym
niż Babilończycy, niewiadome zaś oznacza specjalnymi literami.
Posługuje się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę sto­
suje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. Jest
więc Diofantos autorem pierwszego języka algebraicznego. Aczkol­
wiek stosowane przez niego oznaczenia nie stanowią jeszcze współ­
czesnej symboliki algebraicznej, to jednak można je traktować
jako etap pośredni między tak zwaną algebrą retoryczną a sym­
boliczną.
Przedmiot zainteresowań Diofantosa zaliczamy dziś do teorii
równań nieoznaczonych, a pewne typy równań nazywamy rów­
naniami Diofantosa. Dzieło Diofantosa nie znalazło przez długi
czas kontynuatorów. Czerpali z niego w średniowieczu Arabowie,
znane było w Indiach, lecz pełny, obfity plon wydało dopiero
w XVII wieku.
O tym, jak bardzo nazwisko Diofantosa kojarzono z rozwiązy­
waniem równań, świadczy słynne „Epitafium Diofanta”, będące
zadaniem tekstowym w formie następującego wiersza:
7

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin