AMI 09. Funkcje.pdf

(302 KB) Pobierz
Funkcje
Zadanie 1.
Określić dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotonicz-
ności, ograniczenia i asymptoty funkcji:
a)
f
(x) = log
1
(x
2
+
x);
2
b)
f
(x) = log
5
(3x
2
−
4x + 5).
√
√
tg
2
x
−
( 3 + 1) tg
x
+ 3;
√
x
3
−
4x +
1
;
log
2
(|x| + 1)
Zadanie 2.
Wyliczyć dziedzinę funkcji:
a)
f
(x) = (x
−
1)
2
+ 2(3
−
x)
2
;
c)
f
(x) =
x
2
(x
2
−
1) +
1
−
x
;
x
2
−
5x + 6
1
1
b)
f
(x) =
d)
f
(x) =
√
1
3
e)
f
(x) =
√
+ sin
x;
f )
f
(x) = 1 + log cos
x;
sin
x
Zadanie 3.
Które z podanych funkcji są parzyste, a które nie parzyste?:
a)
f
(x) = 3
−
3
;
c)
f
(x) = cos(x + 2) + cos(x
−
2);
e)
g(x)
=
f
(x) +
f
(−x).
Zadanie 4.
Dla jakiego
m
∈
R,
D
f
=
R
dla
1
f
(x) = log[(2m
−
3)x
2
+ (6
−
m)x
+ (m
−
9)].
7
Zadanie 5.
Określić zbiór wartości funkcji:
a)
f
(x) = 1 +
log cos
x;
b)
f
(x) =
|
cos
x|;
d)
f
(x) =
3
.
5| sin
x|
x
−x
2
x
−
1
b)
f
(x) =
x
;
2 +1
d)
g(x)
=
f
(x)
−
f
(−x);
c)
f
(x) = 1 + tg
2
x;
Zadanie 6.
Znaleźć funkcję odwrotną do
f
:
a)
f
(x) = 4x
−
1;
c)
f
(x) = log
2
(x + 1);
e)
f
(x) =
2x + 3
;
3x
−
2
b)
f
(x) =
√
5
x
+ 2;
d)
f
(x) = 2
−x+2
;
f )
f
(x) =
x
;
x
+1
Zadanie 7.
Wyliczyć okres funkcji:
a)
f
(x) = sin
x
cos
x;
d)
f
(x) = sin
4
x
+ cos
4
x;
b)
f
(x) =
cos(5x)−sin(2x);
e)
f
(x) =
cos
x
;
1
−
sin
x
1
c)
f
(x) = tg(4x);
Funkcje – odpowiedzi
Zadanie 2
a)
D
f
= (1, 3);
b)
D
f
=
π
(2k
2
−
1),
π
(4k + 1)
∪
4
π
(3k
3
−
1),
π
(2k + 1)
, k
∈
Z;
2
c)
D
f
= (−∞,
−1) ∪
(2, 3)
∪ {0} ∪ {1};
d)
D
f
= (−2,
−1) ∪
(2, +∞);
e)
D
f
= 2kπ,
π(2k
+ 1)
, k
∈
Z;
f)
D
f
=
{2kπ,
k
∈
Z}.
Zadanie 3
•
parzyste są funkcje: a), b) i d);
•
nieparzyste: c), e).
Zadanie 4
Dla
m >
12.
Zadanie 5
a)
{1};
b) [0, 1];
c) [1, +∞);
d)
3
,
+∞
5
.
Zadanie 6
a)
f
−1
(y) =
1
y
+
1
;
4
4
b)
f
−1
(y) =
y
5
−
2;
c)
f
−1
(y) = 2
y
−
1;
d)
f
−1
(y) = 2
−
log
2
y;
e)
f
−1
(y) =
f)
f
−1
(y) =
Zadanie 7
a)
τ
=
π;
b)
τ
= 2π;
c)
τ
=
π
;
4
d)
τ
=
π
;
2
e)
τ
= 2π.
2y+3
;
3y−2
−y
.
y−1
1
Funkcje – ciąg dalszy
Zadanie 1.
Wylicz granicę górną i dolną ciągu:
(−1)
n
a)
a
n
= 1 +
n
2
r
3
(n)
d)
a
n
= 1 +
n
e)
a
n
=
n
2n
;
(−1)
n
b)
a
n
= 1 +
2n
n
2
;
c)
a
n
= sin
2πn
;
3
n
, gdzie
r
3
(n)–
reszta z dzielenia przez
3;
n
n
+
r
3
(n)
, gdzie
r
3
(n)–
reszta z dzielenia przez
3.
Zadanie 2.
Sprawdź, czy
f
:
X
→
Y
jest funkcją:
a)
X
=
Y
= [0, +∞),
f
(x)
określamy jako
y
∈
Y
takie, że
y
2
−
2y =
x;
b) jak w a) dla
X
= [−100,
−10),
Y
=
R;
c) jak w a) dla
x
= [0, +∞),
Y
=
R.
Zadanie 3.
Dla funkcji
y
=
f
(x)
określić dziedzinę
D
f
, zbiór wartości, funkcję odwrotną,
oraz
f
(A)
i
f
−1
(B):
a)
f
(x) =
b)
f
(x) =
c)
f
(x) =
d)
f
(x) =
−2x −
7
7
, A
= (−4, 0],
B
=
−
,
0 ;
3+
x
3
2x + 2
7
, A
= (−4, 0],
B
=
−
,
0 ;
2x + 1
3
3x
−
1
, A
= (0, 2],
B
= [−5, 0);
1
−
x
2x + 1
, A
= [0, 3),
B
= (0, 1].
3x
−
3
Zadanie 4.
Dla funkcji
f, g
:
R
→
R
określić
f
◦
g
i
g
◦
f
:
√
a)
f
(x) =
x
3
, g(x)
= sin(2x);
b)
f
(x) =
3
x, g(x)
=
e
x
;
c)
f
(x) =
x
2
+
x
+ 1,
g(x)
= 2
x
−
1;
Zadanie 5.
Powołując się na wykresy funkcj elementarnych naszkicować wykresy funkcji:
a)
f
(x) = 3e
x
+ 2;
d)
f
(x) = ln
|x
+ 1|;
g)
f
(x) =
|
arc tg
x|;
b)
f
(x) = 4 sin(2x);
e)
f
(x) =
e
−4x
;
h)
f
(x) =
|e
x
−
1|;
c)
f
(x) =
−
ctg(πx);
f )
f
(x) = arc sin
|x|;
i)
f
(x) = 2 tg
x
−
π
.
4
Zadanie 6.
Czy funkcja
f
:
X
→
Y
jest ”na„
a)
f
(x) =
1
π
, X
=
, π , Y
= (1, +∞);
cos
x
+ 1
2
1
b)
f
(x) =
c)
f
(x) =
1
π
, X
=
, π , Y
= 1, +∞);
1 + cos
x
2
1
π
, X
= 0,
, Y
= 1, +∞).
1
−
cos
x
2
1
, X
=
Y
= (0, +∞);
|x|
1
, X
= (−∞,
−1),
Y
= 0, 1 ;
|x|
1
, X
= (−∞,
−1
, Y
= (0, 1
.
|x|
Zadanie 7.
:
a)
f
(x) =
b)
f
(x) =
c)
f
(x) =
Zadanie 8.
:
a)
f
(x) =
x
2
−
x, X
= (1, +∞),
Y
=
R;
b)
f
(x) =
x
2
−
x, X
= 0, 1
, Y
=
R;
c)
f
(x) = sin
x
2
, X
=
−
π
,
2
π
, Y
=
−1,
1
.
2
2
Funkcje – ciąg dalszy – odpowiedzi
Zadanie 2
a) tak,
y
= 1 +
√
1+
x
0;
b) nie, bo ∆
<
0 i
y
nie jest określone;
c) nie, bo
y
nie jest wyznaczone jednoznacznie.
Zadanie 3
7
7
a)
f
−1
(y) =
−
3y+7
, f
(A) = (−∞,
−
3
∪
(−1, +∞),
f
−1
(B) = (−∞,
−
2
)
∪
2, +∞);
y+2
2−y
13
b)
f
−1
(y) =
−
2y−3
, f
(A) = (−∞,
6
)
∪
2, +∞),
f
−1
(B) = (−1,
−
20
);
7
y+1
1
c)
f
−1
(y) =
−
y+3
, f
(A) = (−∞,
−5 ∪
(−1, +∞),
f
−1
(B) = (−∞,
3
)
∪
2, +∞);
3y+1
1
1
d)
f
−1
(y) =
−
3y−2
, f
(A) = (−∞,
−
3
∪
(
7
,
+∞),
f
−1
(B) = (−∞,
−
2
)
∪
4, +∞).
6
Zadanie 5
a)
b)
c)
d)
1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin