TEMAT:Zastosowania geometryczne całek
DEFINICJA 6.2 (CAŁKA NIEWŁAŚCIWA - dla przypomnienia)
, - przedział, jest przedziałem domkniętym i ograniczonym,
- przeliczalny ciąg przedziałów domkniętych zawartych w E, wówczas: ,
UWAGA 7.1
Jeżeli E – przedział domknięty i ograniczony i f całkowalna na E,
.
TWIERDZENIE 7.1 (KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI CAŁKI)
Z: ;
T: - zbieżna - zbieżna,
- rozbieżna - rozbieżna;
D: ad1o :
Niech - wstępujący ciąg przedziałów domkniętych:
, z założenia: ,
,
ciąg jest rosnący i ograniczony od góry przez
, czyli , jest zbieżna.
ad2o :
z założenia: , jest rozbieżna.
PRZYKŁAD 7.1 (BADANIE ZBIEŻNOŚCI CAŁKI)
Obliczyć całkę niewłaściwą: ,
dla x=1 funkcja podcałkowa ma asymptotę pionową,
Uwaga:
jeśli podejrzewamy, że całka jest zbieżna to szacujemy od góry, gdy zaś podejrzewamy, że całka jest rozbieżna to szacujemy od dołu, całką którą możemy przeliczyć: , , ,
- funkcja monotoniczna, więc ,
(1) ;
Obliczmy :
wykonujemy podstawienie: , skąd: , więc ,
zatem otrzymujemy: ,
(2) z (1) i (2) całka zbieżna.
WNIOSEK 6.1 (przypomnienie)
Związek całki Lebesque’a z całką Riemanna (dla przypomnienia).
Z: , ,
całka Lebesque’a z funkcji ciągłej jest równa całce Riemanna;
POLE OBSZARU D:
1o Niech D – obszar ograniczony krzywymi: , , ...
sebcio97