Modelowanie_4_RD.pdf

(1028 KB) Pobierz
Modelowanie zależności
MODELE NUMERYCZNE
Jednym z podstawowych zadań chemometrii jest
opracowanie sposobu
przewidywania wartości zmiennej zależnej badanego zjawiska (odpowiedzi
obiektu) w oparciu o znane wartości zmiennych objaśniających (wejść).
Proces taki nazywamy m o d e l o w a n i e m zjawiska (obiektu).
Nasz obiekt badań możemy sobie wyobrazić jako "czarną skrzynkę" o której
budowie wewnętrznej nie wiemy nic lub tylko niewiele. Znamy wartości wejść
obiektu x
i
(i
∈
1.. m) i chcemy przewidzieć wartość odpowiedzi, y.
Aby przewidzieć odpowiedzi obiektu musimy stworzyć jego m o d e l
m a t e m a t y c z n y .
Model matematyczny (numeryczny) jest to wzór
określający zależność pomiędzy odpowiedzią modelowanego obiektu, y, a
wartościami zmiennych objaśniających x
i
mających wpływ na tę odpowiedź:
y = f(x
1
, x
2
, ...,x
m
)
Przy tworzeniu modelu występują dwa, częściowo niezależne problemy:
i) jaka jest postać matematyczna funkcji y = f(x
1
, x
2
, ...,x
m
)
ii) jakie są wartości pewnych stałych, zwanych parametrami modelu.
Typy modeli
1) model w pełni określony:
znamy postać matematyczną funkcji i wartości wszystkich
występujących w niej parametrów.
Modelami takimi zajmują się nauki podstawowe.
Prawa fizyczne opisujące takie zjawiska jak grawitacja, elektromagnetyzm itp. są
właśnie modelami tego typu. Modele w pełni określone nie stanowią przedmiotu
zainteresowania chemometrii.
2) model półempiryczny:
znamy z nauk podstawowych postać zależności funkcyjnych,
lecz dla pewnego konkretnego obiektu brakuje nam informacji o jego parametrach, np.
stałej dysocjacji kwasu czy stałej szybkości danej reakcji chemicznej.
W tym
przypadku tworzenie modelu polega na znalezieniu wartości nieznanych
parametrów i nosi nazwę identyfikacji modelu.
Przy czym, w modelach
półempirycznych postać funkcyjna zależności jest często postacią uproszczoną: z nauk
podstawowych wynika skomplikowana zależność, jednakże w pewnym zakresie
zmiennych objaśniających można ją dostatecznie dokładnie przybliżyć funkcją dużo
prostszą, np. poprzez zaniedbanie pewnych członów o małych wartościach. Modelami
tego typu zajmują się nauki ścisłe i techniczne.
3) 3)model
empiryczny:
nie znamy zależności funkcyjnych lub są one tak
skomplikowane, że nie nadają się do zbudowania modelu. Oczywiście, nie znając
postaci funkcji nie znamy również jej parametrów.
Takimi właśnie modelami zajmuje
się chemometria.
Formy zależności
Chemometria stawia przed sobą trudne zadanie: stworzyć model nic o nim nie wiedząc, w
praktyce okazuje się jednak, że nie jest to zadanie niewykonalne.
Doświadczenie zdobyte przez nauki przyrodnicze i technikę wykazuje, że
przyroda jest
w swych zależnościach w zasadzie "gładka" a nie "chropowata".
Fakt, że wykresy zależności empirycznych są często bardziej podobne do wykresu na
rys.4.1 b) niż rys.4.1 a) wynika nie z natury zależności, lecz z faktu, że
każdy pomiar
obarczony jest nieuniknioną niepewnością pomiaru.
Rys. 4.1:
Dwie możliwe formy zależności odpowiedzi obiektu od wartości jego
wejść: a) odpowiedź jest funkcją porządną; b) odpowiedź ma charakter
fraktalny
Modele w pełni określone i półempiryczne stosują zależności funkcyjne będące
tzw.
funkcjami porządnymi,
co oznacza, że
są to funkcje ciągłe i
różniczkowalne.
W takiej sytuacji matematyka dowodzi, że na dostatecznie małym przedziale
zmiennej niezależnej, ∆x, każdą funkcję ciągłą i różniczkowalną można
przybliżyć wielomianem niskiego stopnia.
Przy czym im gładsza jest funkcja i mniejsze ∆x, tym niższy może być
stopień wielomianu.
Modele empiryczne – koncepcja
Zwykle rozpoczynamy modelowanie od zależności najprostszej, liniowej:
y = ax + b
Jeżeli nie opisuje ona dostatecznie dobrze naszego obiektu stosujemy funkcję
kwadratową:
y = ax
2
+ bx + c
lub
ograniczamy przedział zmiennej niezależnej budując różne modele liniowe
dla różnych przedziałów.
Odpowiedź obiektu zależy zwykle od więcej niż jednej zmiennej. Dlatego też
modele chemometryczne są zwykle funkcjami wielu zmiennych.
Z możliwości aproksymowania naturalnie występujących zależności wielomianami
niskich stopni wynika jeszcze jedno spostrzeżenie, cenne z punktu widzenia modeli
empirycznych:
dla doświadczalnego poznania tych zależności wystarcza
o g r a n i c z o n a liczba doświadczeń (pomiarów).
Gdyby zależności te miały nieciągłą, fraktalną postać to dla ich poznania
należałoby wykonać w zasadzie nieograniczoną liczbę pomiarów.
Mielibyśmy
wtedy do czynienia z o p i s e m , a nie modelem zjawiska.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin