3. WARSTWA PRZYŚCIENNA
3.1. ZAGADNIENIA RAYLEIGHA-STOKESA DLA PŁYTY
W części pierwszej przedstawiono przykłady rozwiązań równania Naviera-Stokesa. W niniejszym punkcie wyznaczymy rozkład prędkości w cieczy lepkiej wywołany ruchem nieskończenie długiej płyty poruszającej się ze stałą prędkością U. W wyniku tarcia kolejne partie cieczy w kierunku osi y będą miały wzrastającą prędkość w funkcji czasu. Innymi słowy, punkt, w którym prędkość ma stałą wartość, przesuwa się w kierunku osi y. Odległość od tego punktu do płyty wyznacza grubość d warstwy przyściennej. Dla rozwiniętego przepływu pochodna prędkości. Rozważamy ruch płaski w którym v = 0, a prędkość u jest funkcją zmiennej y oraz czasu t. Ponadto, po zaniedbaniu działania siły ciężkości układ równań Naviera-Stokesa redukuje się do dwóch równań:
- w kierunku osi x
(3.1)
- w kierunku osi y
(3.2)
Warunki początkowo-brzegowe są następujące
u = 0 dla t £ 0, y ³ 0
u(0,t) = U dla t > 0, (3.3)
Z równania (3.2) wynika, że ciśnienie prostopadłe do ciała jest stałe; jest to jedna z własności charakteryzujących warstwę przyścienną.
Rozwiążemy równanie (3.1) z warunkami (3.3). Przez wprowadzenie nowych zmiennych s określonych wzorem
(3.4)
równanie (3.1) możemy przekształcić w równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego w postaci
(3.5)
którego rozwiązanie jest następujące
(3.6)
Po ponownym przejściu do zmiennych (y,t) otrzymujemy
(3.7)
Rys. 3.1. Rozkład prędkości w przepływie Rayleigha-Stokesa
gdzie:
oraz dla dostatecznie dużych wartości x zachodzi rozwinięcie
Funkcja erf(x) nazywana jest funkcją błędu. Rozwinięcie jej w szereg ma postać
Rozwinięcie funkcji erf(x) w szereg pozwala wyznaczyć rozkłady prędkości w kierunku osi y. Przebieg rozwiązania równania (3.7) pokazano na rys. 3.1.
PRZYKŁAD 3.1 Wyznaczamy na podstawie rozwiązania przepływu Rayleigha-Stokesa położenie punktu d = y, w którym u(d,t) / U = e. Na podstawie wzoru (3.6) mamy
lub po elementarnym przekształceniu
W tablicy 3.1 zestawiono wartości parametru s w funkcji stosunku prędkości e.
Tablica 3.1. Grubość warstwy przyściennej w funkcji parametru e
e [%]
1
0,5
0,10
0,05
s
3,66
3,97
4,66
4,92
Zatem grubość warstwy przyściennej wzrasta w miarę upływu czasu. Droga pokonana przez poruszającą się płytę l = U× t, stąd dla 1% grubości warstwy przyściennej
(3.8)
Stosunek grubości warstwy przyściennej (grubość warstwy tarcia) do długości warstwy przyściennej jest funkcją liczby Reynoldsa. Porównajmy jeszcze grubości warstw przyściennych, dla których e = u(d,t)/U = 0,01 w przypadku ruchu płyty nieskończonej w powietrzu i w wodzie o tej samej temperaturze 10oC i ciśnieniu 0,1 MPa. Mianowicie
Stąd
Z kolei dla ciśnienia p = 10 MPa i temperatury t = 20oC
Współczynnik lepkości kinematycznej dla gazów rośnie z temperaturą i maleje ze wzrostem ciśnienia. W przypadku wody maleje ze wzrostem temperatury i nieznacznie rośnie ze wzrostem ciśnienia.
4.1. OPŁYW PŁYTY Z RÓWNOMIERNYM ODSYSANIEM PŁYNU
Rozważmy stacjonarny przepływ płynu nieściśliwego lepkiego wzdłuż poziomej płyty (rys. 4.1). Zakładamy przy tym, że rozkład prędkości i ciśnienia jest wyłącznie funkcją odległości y od płyty. Zatem mamy
Vx = u = u(y), vy = v(y), p = p(y) (4.1)
Jako warunki brzegowe przyjmujemy następujące wartości
- na powierzchni płyty
y = 0, u(0) = 0 (4.2)
- w nieskończoności
(4.3)
Na mocy równania ciągłości otrzymujemy
stąd (4.4)
Rys. 4.1. Opływ płyty płynem lepkim z równomiernym odsysaniem
Przyjęcie v0 < 0 (rys. 4.1), oznacza odsysanie płynu przez powierzchnię płyty. Równanie Naviera-Stokesa na mocy równań (4.1) i (4.2) sprowadza się do postaci
(4.5)
(4.6)
Rozwiązanie równania (4.5) z warunkami (4.2) i (4.3) ma następującą postać
(4.7)
W wyniku zmiany profilu prędkości mniej płynu płynie w pobliżu ścianki niż w dużej odległości od niej. Jest to wynikiem lepkości płynu. Różnica strumieni objętości płynu ze stałą prędkością U i prędkością u(y) wynikającą z istnienia lepkości wynosi
(4.8)
co jest równoważne przepływowi ze stałą prędkością U w przedziale i z zerową prędkością w przedziale (rys. 4.2). Dlatego też wielkość nazywa się liniową miarą straty wydatku. Po przekształceniu równania (4.8) otrzymujemy
więc
(4.9)
Dla wyprowadzonego rozwiązania (4.7) liniowa miara straty wydatku wynosi
(4.10)
Znikanie lepkości powoduje, że w całym przekroju płynącego płynu prędkość jest stała i wynosi U; wtedy .
Naprężenia styczne na ściance wynoszą
(4.11)
Wynik ten nie zależy od lepkości n. Jest to spowodowane zjawiskiem odsysania strumienia płynu z prędkością v0. Zależność (4.11) można również uzyskać z zastosowaniem całkowej postaci równania pędu dla przypadku stacjonarnego
(4.12)
gdzie Fi oznacza siły masowe i powierzchniowe, A jest powierzchnią zamkniętą otoczoną bokami AB-BC-CD-DA (rys. 4.1). Zatem
Rys. 4.2. Objaśnienia grubości straty wydatku
Sumy sił F1 i F2 oraz F3 i F4 zerują się. Dla naprężeń normalnych na powierzchniach AB i CD mamy
Ze względu na przeciwne kierunki wektorów normalnych suma sił na powierzchniach AB i CD jest równa zeru, gdyż prędkość w kierunku osi y jest stała i wynosi v0. Pozostają jeszcze powierzchnie BC i DA. Dla powierzchni BC bardzo oddalonej od ścianki , naprężenia styczne . Natomiast naprężenia na ściance są stałe i wynoszą .
Dla lewej strony (zależność (4.12)) mamy
gdzie przez l oznaczono jednostkową grubość w kierunku prostopadłym do rysunku. Natomiast suma sił występujących po prawej stronie równania (4.12) na mocy powyższych rozważań wynosi -, co prowadzi do wzoru
identycznego z zależnością (4.11). Zastosowanie całkowej postaci zasady pędu pozwoliło uniknąć rozwiązywania równania różniczkowego (4.5).
...
lukas-777