Wytrzymałość materiałów jest mechaniką ciała odkształcalnego, kontynuacją mechaniki teoretycznej, zajmuje się analizą rozkładu sił wewnętrznych i odkształceń, którym podlegają elementy konstrukcji poddane działaniu obciążeń zewnętrznych.
Jest to nauka o praktycznych metodach badań własności mechanicznych materiałów oraz o teoretycznych, numerycznych i eksperymentalnych metodach analizy stanu naprężenia i odkształceniach w elementach maszyn i konstrukcji.
Na podstawie badań doświadczalnych określa się własności materiałów pod kątem ich odporności na obciążenia takie jak rozciąganie, zginanie, skręcanie z jednoczesnym określeniem ich właściwości takich jak sprężystość lub plastyczność.
13. 1. Własności materiałów
Własności materiału mają wpływ na zdolność przenoszenia naprężeń tzn. sił wewnętrznych powstających w konstrukcji, a zatem na nośność elementów. Własności materiałów określamy zazwyczaj na podstawie badań doświadczalnych. Do podstawowych takich badań zaliczamy próby wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie. Z uwagi na fakt, że na podstawie prób wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie można określić pozostałe własności potrzebne do obliczeń, większość badań materiałowych ogranicza się tylko do tych badań. Jak wiadomo z fizyki, elementy rozciągane ulegają odkształceniom. Na podstawie badań określa się zależności między obciążeniami i odkształceniami. Pomiary sił i odkształceń próbek materiałów nazywamy badaniami wytrzymałościowymi i przeprowadzamy na specjalnych maszynach wytrzymałościowych, umożliwiających automatyczną rejestrację pomiarów sił, naprężeń, wydłużeń i odkształceń względnych.
13. 2. Podstawowe pojęcia - naprężenia i odkształcenia w prętach rozciąganych.
Przy rozciąganiu prętów w pewnej odległości od punktu przyłożenia siły rozkład naprężeń przyjmujemy jako równomierny w całym przekroju poprzecznym. Naprężenia te prostopadłe do powierzchni nazywa się naprężeniami normalnymi i oblicza się ze wzoru
(13.1)
Rys.13. 1. Naprężenia (s) i towarzyszące im wydłużenie (Dl) w pręcie o przekroju poprzecznym F, rozciąganym siłą P.
Rys.13. 2. Poglądowy wykres rozciągania stali, naprężenie - odkształcenie s(e). Na osi pionowej podano wartości naprężeń (s), natomiast na osi poziomej odkształcenia względne (e).
Rys. 13. 3. Widok próbki po odkształceniu w uchwytach maszyny wytrzymałościowej Instron.
Rys. 13. 4. Widok ogólny maszyny wytrzymałościowej.
W przypadku rozciągania, naprężenia s obliczamy zatem wg wzoru (13.1), a odpowiadające im odkształcenia względne e określamy jako przyrost długości do długości początkowej
(13.2)
przyrost długości Dl mierzy się w trakcie próby rozciągania
l0 – jest długością początkową, natomiast l1 długością odkształconej próbki w chwili pomiaru
Analizując typowy wykres rozciągania przedstawiony na rysunku 13.2 należy wyodrębnić następujące charakterystyczne wielkości:
1. granica proporcjonalności - sprop - poniżej granicy sprop naprężenia są wprost proporcjonalne do odkształceń e
2. granica sprężystości - sspr - dla s £ sspr po odciążeniu nie ma odkształceń trwałych, natomiast po przekroczeniu naprężeń sspr elementy po odciążeniu nie wracają do swoich wymiarów pierwotnych.
3. wyraźna granica plastyczności - (Re – oznaczenie normowe wg polskiej normy PN-88/H-04310 przy czym wg polskiej normy rozróżniamy dolną ReL i górną granicę plastyczności ReH) – jest to naprężenie po osiągnięciu, którego następuje wyraźny wzrost odkształcenia bez wzrostu obciążenia, a nawet przy jego spadku, stosuje się również oznaczenie splast. W przypadku materiałów nie posiadających wyraźnej granicy plastyczności wyznaczamy umowną granicę plastyczności - R0.2 – jest to naprężenie po osiągnięciu, którego powstaje odkształcenie trwałe równe 0.2 % długości początkowej.
4. wytrzymałość na rozciąganie – wg polskiej normy oznaczana jest jako Rm - jest to naprężenie odpowiadające maksymalnej sile uzyskanej podczas próby rozciągania odniesionej do pierwotnego przekroju poprzecznego próbki.
Wyraźną granicę plastyczności (Re) oraz wytrzymałość na rozciąganie (Rm) obliczamy na podstawie badań z następujących wzorów:
, (13.3)
Gdzie: Pe – jest siłą odpowiadającą granicy plastyczności
Pmax - jest maksymalną siłą uzyskaną podczas próby rozciągania
F0 – jest pierwotnym przekrojem poprzecznym próbki
Przy analizie własności wytrzymałościowych często przeprowadza się również badanie materiałów na ściskanie. Badania prowadzone są wg polskiej normy PN-82/H-04320 podobnie jak przy rozciąganiu, z tą różnicą, że zmienia się kształt i sposób obciążenia próbek.
Przy budowie maszyn, urządzeń, konstrukcji stosowane są różne materiały (stal, miedź, stopy Al, materiały kompozytowe, beton, drewno) a ich własności wykorzystywane są do specyfiki pracy urządzenia lub elementu przenoszącego obciążenia.
W związku z powyższym znajomość własności wytrzymałościowych jest niezbędna przy projektowaniu konstrukcji. Niektóre materiały konstrukcyjne mają inne własności na rozciąganie i inne na ściskanie, szczególnie takie jak żeliwo, beton, ceramika.
Rys. 13. 5. Przykłady wykresów rozciągania i ściskania stali i żeliwa - s(e). Na osi pionowej podano wartości naprężeń (s) – ściskające lub rozciągające, natomiast na osi poziomej wydłużenia lub skrócenia względne (e).
14. Naprężenia dopuszczalne.
Podstawowym parametrem zapewniającym bezpieczną pracę konstrukcji są naprężenia dopuszczalne. Naprężenia dopuszczalne, tzn. takie, które zapewniają bezpieczną pracę konstrukcji oblicza się na podstawie prób rozciągania lub ściskania. Naprężenia dopuszczalne na rozciąganie lub ściskanie otrzymujemy po podzieleniu wytrzymałości na rozciąganie Rm lub ściskanie Rc przez odpowiedni współczynnik bezpieczeństwa, określany na podstawie odpowiednich norm przedmiotowych. Dla stali naprężenia dopuszczalne na rozciąganie otrzymujemy po podzieleniu wytrzymałości na rozciąganie Rm lub granicy plastyczności Re przez odpowiedni współczynnik bezpieczeństwa (n lub n1 ) i obliczamy wg wzorów.
(14.1)
Natomiast naprężenia dopuszczalne na ściskanie materiałów plastycznych otrzymujemy po podzieleniu granicy plastyczności Re przez współczynnik bezpieczeństwa n1
(14.2)
Stal konstrukcyjna (tzw. niskowęglowa) przy ściskaniu w zasadzie nie podlega zniszczeniu,
można ją odkształcać plastycznie, ale nie można dla niej wyznaczyć wytrzymałości na ściskanie, a jedynym parametrem umożliwiającym określenie naprężeń dopuszczalnych jest granica plastyczności przy ściskaniu. Podobnie naprężenia dopuszczalne na ściskanie dla materiałów kruchych (żeliwa, betonu) otrzymujemy po podzieleniu wytrzymałości na ściskanie Rc przez odpowiedni współczynnik bezpieczeństwa nc.
(14.3)
Rys. 14.1. Typowy wykres prób rozciągania siła – przemieszczenie, otrzymany z maszyny Instron dla stali (St3-s), nie posiadającej wyraźnej granicy plastyczności.
Niektóre gatunki stali, miedź, stopy aluminium, i inne metale nie posiadają wyraźnej granicy plastyczności i w takich wypadkach stosuje się pojęcie umownej granicy plastyczności jako kryterium do wyznaczania naprężeń dopuszczalnych.
Umowna granica plastyczności – R0.2 – jest to naprężenie po osiągnięciu, którego powstaje odkształcenie trwałe równe 0.2 % długości początkowej.
Umowną granicę plastyczności obliczamy na podstawie badań wg wzoru
(14.4)
Gdzie: P0.2 – jest siłą odpowiadającą odkształceniu trwałemu etr = 0.2 %
W przypadku materiałów sprężysto-plastycznych np. miedzi, stopów: aluminium, metali kolorowych, materiałów kompozytowych itp. nie obserwujemy klasycznego plastycznego płynięcia, ale po przekroczeniu granicy proporcjonalności powstają odkształcenia sprężysto - plastyczne i zależność s-e (naprężenie - odkształcenie) staje się nieliniowa. Wówczas przy określaniu naprężeń dopuszczalnych należy znać wartość umownej granicy sprężystości.
Na rys. 14. 2. przedstawiono rzeczywisty wykres rozciągania miedzi, materiału mającego szczególne zastosowanie w elektrotechnice.
Rys. 14. 2. Wykres rozciągania, siła - odkształcenie, P(Dl) miedzi, otrzymany za pomocą mostka tensometrycznego "Hottinger" URG-60 sprzężonego z mikrokomputerem.
15. Prawo Hooke’a.
Konstrukcje projektuje się tak aby podczas eksploatacji pracowały w zakresie liniowo – sprężystym (tzn. elementy po odciążeniu powinny wracać do swoich wymiarów pierwotnych), natomiast obciążenia graniczne (niszczące) oblicza się często w zakresie sprężysto–plastycznym. Powyższe założenie jest niezwykle istotne w obliczeniach wytrzymałościowych konstrukcji, ponieważ do granicy proporcjonalności materiał jest liniowo – sprężysty i obliczenia przeprowadzamy zgodnie z liniową teorią sprężystości.
Naprężenie w dowolnym punkcie ciała jest to granica do której dąży stosunek elementarnej siły wewnętrznej DP do elementu powierzchni DF ®0
(15. 1)
W ogólnym przypadku naprężenie jest tensorem. Zgodnie z zasadą de Saint-Venant’a zakładamy, że w przekrojach położonych w pewnej odległości od punktu przyłożenia siły, rozkład naprężeń rozciągających jest równomierny, jak na rysunku 15.1 a. Zależność siła-wydłużenie lub naprężenie – odkształcenie ma charakter liniowy, zależność tą pokazano na rys. 15.1. b).
Podstawowym równaniem określającym zależność między naprężeniami s i odkształceniami e jest prawo Hooke’a. Prawo to znane z fizyki zapisujemy w postaci prostych wzorów.
albo (15. 2)
ponieważ to lub (15. 3)
gdzie: P – jest siłą rozciągającą
l – długością początkową, Dl – wydłużeniem pręta
F – pierwotnym przekrojem poprzecznym próbki
E – jest stałą charakteryzującą sprężystość materiału, nazywaną modułem sprężystości lub modułem Younga.
Moduł Younga E określany jako współczynnik charakteryzujący sprężystość materiału może kojarzyć się z liczbą bezwymiarową, tymczasem stała ta ma wymiar naprężenia. Jeżeli pręt o długości l będzie rozciągany naprężeniami s = E, wówczas jego wydłużenie obliczone na postawie prawa Hooke’a wynosi
Interpretację fizyczną modułu Younga można przedstawić jako naprężenie po przyłożeniu, którego wydłużenie jest równe długości początkowej. Większość materiałów ulega zerwaniu przy Dl << l, a zatem podana interpretacja fizyczna modułu E jest poglądowa. Tak dużą odkształcalność posiada tylko guma i niektóre tworzywa sztuczne, pozostałe materiały znacznie wcześniej ulegają rozerwaniu, w takich przypadkach moduł sprężystości E określamy na podstawie próby rozciągania. Jest to tangens nachylenia prostoliniowej części wykresu rozciągania (rys. 15.1 b), a jego wartość wyznaczamy ze wzoru
(15. 4)
Rys. 15.1. a) Rozkład naprężeń rozciągających w przekrojach prostopadłych do osi pręta, b) zależność naprężenie - odkształcenie (s-e) w zakresie liniowo-sprężystym.
W przypadkach złożonych stanów naprężeń, np. gdy elementy konstrukcji są obciążone w dwóch kierunkach mamy, do czynienia z płaskim stanem naprężenia (rys. 15.2). W takim przypadku najłatwiej można wyznaczyć odkształcenia stosując zasadę superpozycji, tzn. rozpatrzyć odkształcenia wywołane naprężeniami sx, a następnie odkształcenia wywołane naprężeniami sy i nałożyć na siebie efekty obu stanów (rys. 15.3.).
Rys. 15.2. Płaski stan naprężenia a) element obciążony naprężeniami sx i sy, odkształcenia oznaczono linią przerywaną, b) widok odkształceń Dl i Db przy założeniu, że krawędzie x = 0 i y = 0 są nieruchome.
Zakładając działanie tylko naprężeń sx obliczamy wydłużenia w kierunku osi x wydłużenie to wynosi , natomiast odkształcenie jest równe ,
Przy rozciąganiu elementu odkształceniu wzdłużnemu towarzyszy odkształcenie poprzeczne (zwężenie), należy zatem jeszcze obliczyć odkształcenie Db w kierunku osi y, odkształcenie to obliczamy wykorzystując zależność między odkształceniem podłużnym i porzecznym określanym za pomocą współczynnika odkształcalności poprzecznej, zwanego liczbą Poissona n.
skąd oraz
Rys. 15.3. Zasada superpozycji, widok odkształceń Dl i Db, a) element obciążony naprężeniami sx, b) element obciążony naprężeniami sy przy założeniu, że krawędzie x = 0 i y = 0 są nieruchome.
Zakładając działanie naprężeń sy otrzymujemy oraz
a następnie
...
tomp93