lista4.pdf

(41 KB) Pobierz
Warto±ci i wektory wªasne w
R
3
.
Zaj¦cia 21 marca 2014 r.
wiczenia.
Algebra liniowa 2A. Lista 4.
1. Dana jest pªaszczyzna
Π
zawieraj¡ca punkt
(0, 0, 0)
oraz symetria
S
Π
wzgl¦dem tej pªaszczyzny. Uzasadnij
geometrycznie, »e liczby 1 i
−1
s¡ warto±ciami wªasnymi
S
Π
.
2. Dla jakiego przeksztaªcenia przestrzeni wszystkie wektory s¡ wektorami wªasnymi dla warto±ci wªasnej
1/2
?
3. Napisz
równanie charakterystyczne i znajd¹ warto±ci wªasne przeksztaªcenia zadanego macierz¡:
−3
0
0
0 0
a
(a)
2 1 0
, (b)
0
b o
(w zale»no±ci od warto±ci parametrów
a, b, c
).
−7
11
−3
c
0 0
1 0 1
4. Sprawd¹, »e 1 jest warto±ci¡ wªasn¡ przeksztaªcenia zadanego macierz¡
2 0 3
, oraz znajd¹ pozostaªe
0 1 4
warto±ci wªasne tego przeksztaªcenia.
5. Uzasadnij dwoma sposobami, »e jedynymi warto±ciami wªasnymi przeksztaªcenia zadanego macierz¡ dia-
gonaln¡
3
×
3
s¡ liczby równe wyrazom tej macierzy na gªównej przek¡tnej.
I sposób:
bezpo±rednio z denicji warto±ci wªasnej i ze wzoru przeksztaªcenia.
II sposób:
za pomoc¡ równania charakterystycznego.
6. Sprawd¹, »e wyraz wolny wielomianu charakterystycznego dowolnej macierzy
3×3
jest równy wyznacznikowi
tej macierzy.
Zadania.
1. Uzasadnij geometrycznie, »e obrót o dowolny k¡t wokóª prostej
L
zawieraj¡cej punkt
(0, 0, 0)
ma warto±¢
wªasn¡ 1, za± obrót o k¡t
π
ma dodatkowo warto±¢ wªasn¡
−1
.
2. Posªuguj¡c si¦ równaniem charakterystycznym znajd¹ wszystkie warto±ci wªasne obrotu
R
z,θ
o k¡t
θ
wokóª
osi
Oz
, w zale»no±ci od wielko±ci k¡ta
θ
.
3. Niech
T
:
R
3
→
R
3
b¦dzie przeksztaªceniem liniowym speªniaj¡cym warunek
T
2
= 0
.
(a) Uzasadnij, »e
0
jest warto±ci¡ wªasn¡ przeksztaªcenia
T
pokazuj¡c, »e musi istnie¢ niezerowy wektor
X
∈
R
3
dla którego
T
(X) = 0
·
X
= 0
(we¹ w tym celu dowolny wektor
Y
̸∈
0
i popatrz na wektory
T
(Y )
oraz
T
(T (Y ))
).
(b) Uzasadnij to samo co w punkcie (a) za pomoc¡ wielomianu charakterystycznego, dowodz¡c najpierw
»e
det(m(T )) = 0
, a potem stosuj¡c ¢wiczenie 9.
(c) Poka», »e
T
nie ma ró»nych od zera warto±ci wªasnych (np. stosuj¡c rozumowanie
wprost).
nie
−2
3
−1
4. Znajd¹ warto±ci wªasne przeksztaªcenia liniowego zadanego macierz¡
0 1
−2
. Uzasadnij, »e
0 0
−3
przestrze« wªasna dla ka»dej z tych warto±ci wªasnych jest prost¡ zawieraj¡c¡ punkt
(0, 0, 0)
i opisz ka»d¡
1
−2 −2
5. Sprawd¹, »e liczba 3 jest warto±ci¡ wªasn¡ przeksztaªcenia zadanego macierz¡
−2
1
−2
i »e
−2 −2
1
z tych prostych dwoma sposobami: (a) jako cz¦±¢ wspóln¡ dwóch pªaszczyzn danych za pomoc¡ równa«
ogólnych; (b) przy pomocy równania parametrycznego.
odpowiadaj¡ca jej przestrze« wªasna jest pªaszczyzn¡. Podaj równanie ogólne i równanie parametryczne
tej pªaszczyzny. Zbadaj, czy przeksztaªcenie ma jeszcze inne warto±ci wªasne.
6. Znajd¹ i opisz za pomoc¡ równa« przestrzenie wªasne dla warto±ci wªasnych przeksztaªcenia
(a) z ¢wiczenia 3(a);
x
1
x
3
(b) zadanego wzorem
T
x
2
=
x
2
. Wykorzystaj znajomo±¢ warto±ci i przestrzeni wªasnych do
x
3
x
1
geometrycznego zinterpretowania przeksztaªcenia z tego podpunktu.
7. Uzasadnij, »e przestrzenie wªasne dwóch ró»nych warto±ci wªasnych tego samego przeksztaªcenia przecinaj¡
si¦ tylko w wektorze zerowym. Wywnioskuj st¡d, »e przeksztaªcenie liniowe
T
:
R
3
→
R
3
nie mo»e mie¢
dwóch ró»nych dwuwymiarowych przestrzeni wªasnych.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin