Kwadratury Gaussa.pdf

(47 KB) Pobierz
Kwadratury Gaussa
Definicja całki w sensie Riemanna [1]:
Niech
f
będzie funkcja określoną i ograniczona na odcinku
[a,b].
Całką oznaczoną
funkcji
f
b
na
[a,b],
n
∫
f
(
x
)
dx
, nazywamy granicę sum:
a
S
n
=
∑
(
x
i
+
1
−
x
i
)
f
( ~
i
) , gdzie
a=x
0
<x
1
<…<x
n+1
=b
jest dowolnym podziałem odcinka
[a,b]
x
i
=
0
takim,
ż
e
max
x
i
+
1
−
x
i
n
→∞
→
0
, a ~
i
∈
[
x
i
,
x
i
+
1
]
s
ą
dowolnymi punktami po
ś
rednimi.
x
0
≤
i
≤
n
Obliczenie warto
ś
ci całek w sposób analityczny jest mo
ż
liwy tylko dla niewielkiej klasy
funkcji. Dla zdecydowanej wi
ę
kszo
ś
ci funkcji obliczenia te s
ą
zbyt skomplikowane i tutaj
znajduj
ą
zastosowanie kwadratury. Kwadratury słu
żą
do numerycznego (przybli
ż
onego)
obliczania warto
ś
ci całek. Najcz
ęś
ciej stosowane s
ą
kwadratury wykorzystuj
ą
ce jedynie
warto
ść
funkcji
f,
s
ą
one postaci:
∫
b
a
f
(
x
)
dx
≈
Q
(
f
)
=
∑
A
i
f
(
x
i
) .
i
=
0
n
Definicja rz
ę
du kwadratury [1]:
Mówimy,
ż
e
kwadratura
Q
jest rzędu
n
, je
ś
li jest dokładna dla wszystkich wielomianów
stopnia mniejszego od
n,
Q
(
w
)
=
∫
w
(
x
)
dx
dla
w
∈
W
n
−
1
oraz istnieje wielomian
w
n
stopnia
n,
a
b
dla którego
Q
(
w
n
)
≠
∫
w
n
(
x
)
dx
.
a
b
Kwadratury Gaussa przy ustalonej liczbie w
ę
złów maj
ą
najwy
ż
szy rz
ą
d [1].
Warto
ść
R
(
f
)
=
Q
(
f
)
−
∫
f
(
x
)
dx
nazywamy
resztą kwadratury
.
a
b
Kwadratury Gaussa to kwadratury postaci:
S
(
f
)
=
∑
A
k
f
(
x
k
) , gdzie w
ę
zły
x
k
i
k
=
0
N
współczynniki
A
k
s
ą
dobrane w taki sposób, by rz
ą
d kwadratury był jak najwy
ż
szy (
2n+2
).
Kwadratury Gaussa-Legendre’a:
[a,b]=[-1,1]
n
1
d
n
2
P
n
(
x
)
=
n
x
−
1
2
n
!
dx
n
(
)
A
k
= −
2
'
(
N
+
2)
P
N
+
2
(
x
k
)
P
N
+
1
(
x
k
)
Natomiast w
ę
zły kwadratury
x
k
to zera wielomianu
P
N+1
(x)
.
Aby zastosowa
ć
powy
ż
sze wzory dla dowolnego przedziału
[a,b]
nale
ż
y dokona
ć
podstawienia:
t
=
b
a
+
b b
−
a
+
x
,
2
2
∫
a
b
−
a
N
f
(
t
)
dt
≈
S
(
f
)
=
∑
A
k
f
(
t
k
)
.
2
k
=
0
Współczynniki i węzły kwadratur Gaussa są stablicowane [2].
N
1
k
0, 1
x
k
0,577350
-0,577350
-0,774597
2
0, 1, 2
0
0,774597
A
k
1
1
5/9
8/9
5/9
-0,861136 0,347855
3
0, 1, 2, 3
-0,339981 0,652145
0,339981
0,861136
0,652145
0,347855
-0,906180 0,236927
-0,538469 0,478629
4 0, 1, 2, 3, 4
0
0,538469
0,906180
0,568889
0,478629
0,236927
Przykład:
Oblicz całkę
∫
2
1
1
dx
.
x
Rozwi
ą
zanie:
Zastosujemy kwadratur
ę
Gaussa-Legendre’a dwu- i cztero-w
ę
złow
ą
.
Dla dwuw
ę
złowej kwadratury:
N=2,
x
0
= 0,577350, t
0
=1,5+0,5*0,577350=1,788675
x
1
= - 0,577350, t
1
=1,5+0,5*(- 0,577350)=1,211325
A
0
= 1
A
1
= 1
f(t
0
) = 0,559073
f(t
1
) = 0,825542
b
−
a
N
Q=
∑
A
k
f
(
t
k
) =0,5(0,559073+0,825542)=0,692308
2
k
=
0
Dla kwadratury czterowęzłowej:
N=4,
x
0
=
-0,861136,,
t
0
=1,5+0,5*(-0,861136)=1,069432
x
1
=-0,339981, , t
1
=1,5+0,5*(-0,339981)=1,33001
x
2
=0,339981, , t
2
=1,5+0,5*0,339981=1,669991
x
3
=
0,861136,,
t
3
=1,5+0,5*0,861136=1,930568
A
0
= 0,347855
A
1
= 0,652145
A
2
= 0,652145
A
3
= 0,347855
f(t
0
) = 0,935076
f(t
1
) = 0,751874
f(t
2
) = 0,598806
f(t
3
) = 0,517982
b
−
a
N
Q=
∑
A
k
f
(
t
k
) =0,693146
2
k
=
0
1.
Jankowscy, Janina i Michał.
Przegl
ą
d metod i algorytmów numerycznych, cz.1.
Warszawa : Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1981. ISBN 83-204-0226-3.
2.
Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.
Metody Numeryczne.
Warszawa : Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 2005. ISBN 83-204-3245-6.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin