Metoda Rungego-Kutty.pdf

(257 KB) Pobierz
Metoda Eulera
Weźmy równanie różniczkowe w postaci:
y’(x)=f(x,y)
dla a<=x<=b
y(a)=y
a
Takie równanie wraz z podanym warunkiem początkowym nazywamy zagadnieniem
początkowym Cauchy’ego.
Niech
x
i
=a+ih, i=0,1,…,N,
gdzie
h=(b-a)/N.
Pochodną
y’(x)
przybliżamy ilorazem
różnicowym pierwszego rzędu opartym na węzłach
x
i
x+h.
Jeżeli funkcja
f
jest ciągła na
przedziale
[a,b]
i posiada pochodną, to ze wzoru Taylora otrzymamy:
y
(
x
h
)
y
(
x
)
h
y
' (
x
)
�½
y
" (
)
, gdzie
[
x
,
x
h
]
.
h
2
Wykorzystując warunek początkowy dla
x=x
i
i odrzucając resztę we wzorze Taylora
dostajemy:
y
(
x
i
1
)
�½
y
(
x
i
)
hf
(
x
i
,
y
(
x
i
))
y
(
a
)
�½
y
a
Schemat metody Eulera:
y
i
1
�½
y
i
hf ( x
i
, y
i
)
y
0
�½
y
a
Przykład:
Oblicz
y(0,3)
dla
y
spełniającego równanie:
y’(x)=x
2
+y
y(0)=0,1
Rozwiązanie:
Przyjmujemy
h=0,1
x
0
=0
y
0
=0,1
x
1
=x
0
+h=0,1
y
1
=y(0,1)=y
0
+h(x
02
+y
0
)=0,1+0,1(0
2
+0,1)=0,11
x
2
=x
1
+h=0,2
y
2
=y(0,2)= y
1
+h(x
12
+y
1
)=0,11+0,1(0,01+0,11)=0,122
x
3
=0,3
y
3
=0,122+0,1(0,04+0,122)=0,1382.
Odpowiedź:
y(0,3)=0,1382.
Metoda Rungego-Kutty
Metody Rungego-Kutty to metody numerycznego rozwiązywania równania różniczkowego
pierwszego rzędu w postaci:
y’=f(x,y).
Rozwiązaniem takiego zagadnienia jest funkcja
f(x,y(x))=y’(x) dla
x
[
a
,
b
]
.
Rozwiązanie to
nie jest jednoznczne, dlatego by uzyskać jednoznaczne rozwiązanie konieczne jest zadanie na
przykład warunku początkowego:
y(a)=y
a
.
Takie zagadnienie nosi nazwę zagadnienia Cauchy’ego [1].
Metoda Rungego-Kutty jest zdefiniowana wzorem:
y
i
1
�½
y
i
h
(
x
i
,
y
i
,
h
)
,
i=0,1,…,N-1
y
0
=y
a
gdzie:
r
(
x
,
y
,
h
)
�½
c
i
k
i
i
�½
1
dla
i=1,2,…,r.
r
r
k
i
�½
k
i
(
x
,
y
,
h
)
�½
f
x
h
b
ij
,
y
h
b
ij
k
j
j
�½
1
j
�½
1
Rząd metody Rungego-Kutty jest równy
r.
Najczęściej stosuje się metodę Rungego-Kutty
czwartego rzędu (RK4), dla której powyższe wzory przyjmują postać:
( x, y, h)
�½
(k
1
2k
2
2k
3
k
4
)
,
k
1
�½
f ( x, y)
,
k
2
�½
f (x
k
3
�½
f ( x
1
6
1
1
h, y
hk
1
)
,
2
2
1
1
h, y
hk
2
)
,
2
2
k
4
�½
f ( x
h, y
hk
3
)
.
Metoda
Rungego-Kutty
1
2
drugiego
rzędu
(zmodyfikowana
metoda
Eulera):
( x, y, h)
�½
(k
1
k
2
)
,
k
1
�½
f ( x, y)
,
k
2
�½
f ( x
h, y
hk
1
)
.
Przykład:
y'=y-x
2
, y
0
=1, h=0,01.
Obliczymy wartość rozwiązania
y
w punkcie
x=0,1.
Dla metody RK4:
y(0,1)=
1,104845
Dla metody RK2:
k
1
=1, k
2
=1,09, φ=1,045, y
i
=1,1045
y(0,1)=1,104821
Rozwiązanie dokładne to funkcja
y=2+2x+x
2
-e
x
,
która w punkcie
x=0,1
przyjmuje wartość
1,104829.
1.
Jankowscy, Janina i Michał.
Przegląd Metod i Algorytmów Numerycznych, cz.1.
Warszawa : Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1981. ISBN 83-204-0226-3.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin