exam2012answers.pdf

(1226 KB) Pobierz
First name 
 
Decision Theory Final Exam 
Last name 
 
I term: 06.06.2012 (09:50) 
ID number 
 
Instructor: M. Lewandowski, PhD  
 
Problem 1 [10p] 
Consider the probability density functions of the following six lotteries l
1
‐l
6
: 
PDF 
l
1
 
l
2
 
l
3
 
l
4
 
l
5
 
l
6
 
‐2,00 
0,00 
0,10 
0,00 
0,50 
0,50 
0,00 
0,00 
0,50 
0,00 
0,50 
0,00 
0,00 
0,90 
3,00 
0,00 
0,90 
0,50 
0,00 
0,50 
0,00 
5,00 
0,50 
0,00 
0,00 
0,50 
0,00 
0,10 
 
a) [4p] Fill in the following table (FOSD – first order stochastically dominates, SOSD – 
second order stochastically dominates) 
 
l
1
 FOSD   l
3
, l
4
, l
5
, l
6
 
l
1
 SOSD   l
3
, l
4
, l
5
, l
6
 
l
2
 FOSD  l
5
 
l
2
 SOSD  l
4
, l
5
 
l
3
 FOSD  l
5
 
l
3
 SOSD  l
4
, l
5
, l
6
 
l
4
 FOSD  l
5
 
l
4
 SOSD  l
5
 
l
5
 FOSD   
l
5
 SOSD   
l
6
 FOSD   
l
6
 SOSD   
 
CDF 
l1 
l2 
l3 
l4 
l5 
l6 
‐2,00 
0,00 
0,10 
0,00 
0,50 
0,50 
0,00 
0,00 
0,50 
0,10 
0,50 
0,50 
0,50 
0,90 
3,00 
0,50 
1,00 
1,00 
0,50 
1,00 
0,90 
5,00 
1,00 
1,00 
1,00 
1,00 
1,00 
1,00 
FOSD 
l3,l4,l5,l6 
l5 
l5 
l5 
 
 
 
integral 
CDF 
l1 
l2 
l3 
l4 
l5 
l6 
‐2,00 
0,00 
0,00 
0,00 
0,00 
0,00 
0,00 
0,00 
0,00 
0,20 
0,00 
1,00 
1,00 
0,00 
3,00 
1,50 
0,50 
1,50 
2,50 
2,50 
2,70 
5,00 
2,50 
2,50 
3,50 
3,50 
4,50 
4,50 
SOSD 
l3,l4,l5,l6 
l4,l5 
l4,l5,l6 
l5 
 
 
 
For l1 a graphical illustration: 
1.0 
0.5 
0.0 
‐3  ‐2  ‐1  0  1  2  3  4  5  6 
3.5 
1.5 
‐3  ‐2  ‐0.5  0  1  2  3  4  5  6 
‐1 
CDF 
1.0 
0.5 
CDF 
0.0 
‐3  ‐2  ‐1  0  1  2  3  4  5  6 
3.5 
1.5 
Integral  
from CDF 
3,5*0,5=1,7
5 
Integral  
from CDF 
 
5*0,5+0,5*1=3
=1,8 
‐3  ‐2  ‐0.5  0  1  2  3  4  5  6 
‐1 
 
 
First name 
 
Decision Theory Final Exam 
Last name 
 
I term: 06.06.2012 (09:50) 
ID number 
 
Instructor: M. Lewandowski, PhD  
 
b) [2p] Consider the orders (ranking) based on FOSD [we say that x is on a higher position 
than y if x FOSD y]. Fill in the following table (YES/NO): 
 
Order based on FOSD is transitive  YES 
Order based on FOSD is complete  NO 
Order based on SOSD is transitive  YES 
Order based on SOSD is complete  NO 
 
c) [3p] Calculate standard deviations and riskiness measures for lotteries l
4
 and l
5
 
[riskiness measure R is defined as a non‐trivial zero of a function E log(R+l
i
)‐log(R)=0, 
where l
i
 is a given lottery] 
 
 
l
4
 
l
5
 
Standard deviation 
3,5 
2,5 
Riskiness measure 
10/3 
6 
 
d) [1p] Suppose you have to pay a price of 2/3 for lottery l
4
 and you are offered lottery l
5
 
free of charge. Which option l
5
 or l
4
–2/3   has higher riskiness? 
 
 
l
4
‐2/3 
l
5
 
Riskiness measure 
6,93 
6 
 
Problem 2 [8p] 
Consider the following problem under uncertainty: 
 
CRISIS 
NO CRISIS 
 
SAFE   
0 
2 
 
MEDIUM 
‐3 
6 
 
 
RISKY 
‐6 
10 
  
a) [2p] What is the optimal (pure) strategy (S, M, R) according to the following criteria: 
 
 
Strategy  Value of a criterion 
Maximin 
S 
0 
Maximax 
R 
10 
Hurwicz (α=0,5) 
R 
2 
Laplace  
R 
2 
Minimax regret 
M 
4 
 
b) [4p]  Suppose  now  that  the  decision  maker  can  choose  a  mixed  strategy  (Safe  with 
probability p
1
, Medium with probability p
2
, Risky with probability p
3
). Which strategy is 
now optimal using the following criteria: 
 
 
p
1 
p
2 
p
3 
Value of a criterion 
Maximin 
1 
0 
0 
0 
Laplace 
0 
0 
1 
2 
!
!
!
Minimax regret option 1 
0 
 
 
3
!
 
!
!
 
First name 
Last name 
ID number 
 
 
 
 
Minimax regret option 2  
!
 
!
Decision Theory Final Exam 
I term: 06.06.2012 (09:50) 
Instructor: M. Lewandowski, PhD  
0 
!
 
!
 
[Tip  for  minimax  regret:  min  max  (regret  in  state  1,  regret  in  state  2);  in  both  states  regrets 
should be equal] 
 
[1p]  Can  maximin  ever  be  better  when  considering  mixed  strategies  as  compared  to 
considering only pure strategies?   
YES / NO  
 
In our case the possibility of a mixed strategy does not improve maximin as compared to the 
situation where only pure strategies are allowed, because the minima of all the strategies (SAFE, 
MEDIUM  and  RISKY)  occur  in  one  column  “CRISIS”.  It  will  change  however  if  we  introduce 
another strategy HEDGE, for which the minimum is in the other column (“NO CRISIS”) than the 
minima of all the other strategies: 
CRISIS 
NO CRISIS 
 
SAFE 
0 
2 
MEDIUM 
‐3 
6 
RISKY 
‐6 
10 
HEDGE 
5 
‐5 
 
Notice  that  the  value  of  a  maximin  in  pure  strategies  is  equal  to  0  and  is  achieved  for  SAFE 
strategy. 
!
!
Now consider mixing strategies SAFE and HEDGE – let’s take  
!
×SAFE
+
!
×HEDGE. Expected 
payoff of this mixed strategy is equal to 
!
 no matter whether CRISIS or NO CRISIS occurs.  
 
CRISIS 
NO CRISIS 
!
!
!
!
×SAFE
+
 
!
×HEDGE 
 
 
!
!
!
 
!
The  minimum  of  these  two  payoffs  is 
!
,  which  is  better  than  maximin  in  pure  strategies  (0). 
Hence mixed strategies may improve maximin criterion. 
 
[1p] Can Laplace ever be better when considering mixed strategies as compared to considering 
only pure strategies?  
 
 
YES / NO 
 
Consider the same problem as above with an additional strategy HEDGE:  
CRISIS 
NO CRISIS 
EV 
SAFE  
0 
2 
1 
MEDIUM 
‐3 
6 
1,5 
RISKY 
‐6 
10 
2 
HEDGE 
5 
‐5 
0 
 
We have listed Expected Value of each of the strategies (probability of CRISIS and NO CRISIS is 
assumed to be one half in Laplace criterion due to the principle of insufficient reason – we don’t 
know  anything  about  the  probabilities  so  we  assume  symmetry)  in  the  column  on  the  right. 
Notice that RISKY strategy is the best. Consider now mixed strategies of the form p
!
×SAFE
+
 
!
3
!
 
!
First name 
 
Decision Theory Final Exam 
Last name 
 
I term: 06.06.2012 (09:50) 
ID number 
 
Instructor: M. Lewandowski, PhD  
 
p
!
×MEDIUM
+
p
!
×RISKY
+
p
!
×HEDGE, where p
!
≥
0, and 
!
p
!
=
1. Expected Value of such 
!!!
mixed strategy where CRISIS and NO CRISIS has probability one half is: 
 
EV
MIXED
=
p
!
×EV
SAFE
+
p
!
×EV
MEDIUM
+
p
!
×EV
RISKY
+
p
!
×EV
HEDGE
= 
=
p
!
×1
+
p
!
×1,5
+
p
!
×2
+
p
!
×0 
 
And  this  expression  will  never  be  greater  than  2  which  is  equal  to  EV(RISKY).  Hence 
introducing  mixed  strategies  cannot  improve  Laplace  criterion  compared  to  the  situation 
where only pure strategies are allowed. 
  
Problem 3 [5p] 
Consider a choice function which satisfies property alpha, beta and gamma. Fill in the following 
tables (if you answer YES, then write by which single property you include it in the chosen set; 
if you answer NO, then also write by which single property you don’t include it in the chosen 
set): 
 
Menu 1 
a 
b 
d 
Chosen (YES/NO) 
YES 
NO 
NO 
 
Menu 2 
a 
c 
Chosen (YES/NO) 
YES 
YES 
 
Menu 3 
a 
b 
c 
d 
 
 
Chosen (YES/NO) 
YES 
NO 
YES 
NO 
 
By which property  gamma 
alpha
–
 
beta
+
 
alpha
–
 
 
Menu 4 
d 
c 
 
Chosen (YES/NO) 
NO 
YES 
 
By which property 
beta
–
 
alpha
+
 
 
 
For educational purposes, we decompose properties alpha and beta into positive and negative 
versions (alpha
+
, beta
+
, alpha
–
, beta
–
, respectively). Positive version corresponds to the logical 
sentence p
⇒
q, 
where  p  and  q  are  positive  sentences  (e.g.  x  is  chosen  from  set  A),  whereas 
negative  version  corresponds  to  the  logical  sentence ¬q
⇒
¬p, 
where  p  and  q  are  positive 
sentences  and  hence ¬p and ¬q are  negative  sentences  (e.g.  x  is  not  chosen  from  A).  Both 
positive and negative versions are equivalent in logical sense.  
 
Property  alpha
+
  (positive  version):  if  x  is  chosen  from  a  bigger  set,  it  must  be  chosen  from  a 
smaller set as well. 
Property alpha
–
 (negative version): if x was not chosen from a smaller set, it must not be chosen 
from a bigger set. 
Property beta
+
 (positive version): if x and y are chosen from a smaller set and x is chosen from 
a bigger set, then y must be chosen from the bigger set as well. 
Property beta
–
 (negative version): if x was chosen and y was not chosen from a bigger set, then 
if x is chosen from a smaller set, then y must not be chosen from the smaller set.  
 
Problem 4 [3p] 
Consider a choice function which satisfies property alpha and beta. Fill in the following tables 
(If  you  answer  YES,  then  write  by  which  single  or  double  (remember  WARP  is  equivalent  to 
 
First name 
 
Decision Theory Final Exam 
Last name 
 
I term: 06.06.2012 (09:50) 
ID number 
 
Instructor: M. Lewandowski, PhD  
 
BOTH  alpha  and  beta)  property  you  include  it  in  the  chosen  set.  If  you  answer  NO,  then  also 
write by which single or double property you don’t include it in the choice set): 
 
Menu 1 
b 
d 
 
Chosen (YES/NO) 
YES 
NO 
 
 
Menu 2 
b 
c 
 
Chosen (YES/NO) 
YES 
NO 
 
 
Menu 3 
a 
b 
d 
 
Chosen (YES/NO) 
YES 
YES 
NO 
 
By which property 
X 
alpha & beta 
alpha 
 
 
Menu 4 
a 
b 
c 
 
Chosen (YES/NO) 
YES 
YES 
NO 
 
By which property  alpha & beta 
X 
alpha 
 
 
WARP is equivalent to alpha & beta taken together and it says: if x and y are both in set A and 
set B, and if x is chosen from A and y is chosen from B, then y must be chosen from A and x must 
be chosen from B.  
 
Problem 5 [4p] 
A preference relation R defined on a finite set of objects (fruits) is complete and transitive. A 
utility function values u for a couple of objects is given below (function u represents preference 
relation R). Which of the following alternative utility functions u’, u’’ or u’’’ represent the same 
preferences R? 
 
 
apple 
orange 
banana 
lemon 
YES/NO 
u 
1 
3 
2 
4 
X 
u’ 
‐2 
‐0.31 
‐0.33 
10 
YES 
u’’ 
‐0.5 
4.5 
2 
7 
YES 
u’’’ 
100 
‐20 
1 
0 
NO 
  
A binary preference relation is complete and transitive if and only if it may be represented by 
an  ordinal  utility  function  which  is  unique  up  to  any  increasing  transformation.  Hence  any 
function  that  assigns  numbers  to  alternatives  in  the  same  order  as  u  represents  the  same 
ordinal preferences.    
 
Consider now a preference relation R’ defined on a finite set of lotteries. Preference relation R’ 
is complete, transitive, and additionally satisfies continuity and independence (expected utility 
axioms).  A  utility  function  values  v  for  a  couple  of  lotteries  is  given  below  (function  v 
represents preference relation R’) Which of the following alternative utility functions v’, v’’, v’’’ 
represent the same preferences R’? 
 
 
l
1
 
l
2
 
l
3
 
l
4
 
YES/NO 
v 
0.1 
0.3 
0.2 
0.4 
X 
v’ 
‐2 
‐0.31 
‐0.33 
10 
NO 
v’’ 
‐0.5 
4.5 
2 
7 
YES 
v’’’ 
100 
‐20 
1 
0 
NO 
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin