9-10rlc.pdf

(274 KB) Pobierz
10.6.3. OBWODY DRUGIEGO RZĘDU
Najprostszym reprezentantem takich obwodów jest obwód szeregowy
RLC.
i(t)
R
Załóżmy,
że
napięcie działa-
jące na zaciskach takiego obwodu
jest wymuszeniem napięciowym
opisanym funkcją stałą i przyczy-
nową
u(t)=U1(t).
Przyjmijmy,
że
poszukujemy funkcji prądu
i(t).
u
R
(t)
u(t)=U1(t)
u
C
(t)
u
L
(t)
Ustalamy warunki początkowe (W.P.) w oparciu o znajomość stanu
obwodu dla t < t
K
oraz praw komutacji :
Warunki początkowe z uwagi na fakt,
że
dla
t<0 U=0
możemy zgod-
nie z I i II prawem komutacji napisać
i
L
( 0
−
)
=
i
L
( 0
+
)
=
0
u
C
( 0
−
)
=
u
C
( 0
+
)
=
0
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Wyznaczamy na podstawie znajomości funkcji wymuszającej jej postać
operatorową
:
U
U ( s )
=
L
[
u( t )
]
=
L
[
U
0
]
=
0
s
I(s)
R
U
R
(s)
U
C
(s)
U
L
(s)
sL
Sporządzamy schemat operato-
rowy obwodu uwzględniając
U(s)
W.P.
1
sC
- 12 -
Dokonujemy analizy obwodu operatorowego i wyznaczamy postać
operatorową poszukiwanej wielkości.
Prąd w obwodzie możemy wyznaczyć zgodnie z prawem Ohma
U
(
s
)
1
U
I
(
s
)
=
=
= ⋅
1
Z
(
s
)
R
+
sL
+
L s
2
+
R s
+
1
sC
L
LC
U
s
Znajdujemy oryginał poszukiwanej wielkości.
Równanie opisujące prąd w obwodzie jest funkcją wymierną
U L
(
s
)
I
(
s
)
= ⋅
L M
(
s
)
W celu wyznaczenia transformaty odwrotnej należy obliczyć pier-
wiastki mianownika
I(s),
czyli
1
2
R
M
(
s
)
=
s
+
s
+
=
0
L
LC
W wyniku rozwiązania powyższego równania otrzymujemy bieguny
operatorowej funkcji prądu
R
⎫
− +
Δ
⎪
L
s
1
=
⎪
⎪
2
⎬
R
⎪
− −
Δ
⎪
s
2
=
L
⎪
⎭
2
4
⎛
R
⎞
(*)
gdzie
Δ
= ⎜ ⎟ −
LC
⎝
L
⎠
jest wyróżnikiem
M(s)
2
- 13 -
Możliwe są
trzy przypadki rozwiązania
:
A)
B)
C)
Δ
> 0
– dwa pierwiastki rzeczywiste
M(s)
Δ
= 0
– jeden pierwiastek podwójny
M(s)
→
oznacza
dwa bieguny pojedyncze
I(s)
→
oznacza
jeden biegun dwukrotny
I(s)
→
oznacza
dwa bieguny zespolone-sprzężone
I(s)
Δ
< 0
– dwa pierwiastki zespolone-sprzężone
M(s)
Z zależności (*) wynika,
że:
Δ
>
0 gdy
Δ
=
0 gdy
Δ
<
0 gdy
L
R
>
2
C
L
R
=
2
C
L
R
<
2
C
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
Rozważymy teraz możliwe przypadki rozwiązania
- 14 -
Przypadek A
- APERIODYCZNY
Oba bieguny są rzeczywiste:
R
1
⎛
R
⎞
+ ⎜ ⎟ −
s
1
= −
2L
LC
⎝
2L
⎠
s
2
= −
R
1
⎛
R
⎞
− ⎜ ⎟ −
2L
LC
⎝
2L
⎠
2
2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
U
1
⎛
R
⎞
2L
⎜ ⎟ −
LC
⎝
2L
⎠
U
1
⎛
R
⎞
L
⎜ ⎟ −
LC
⎝
2L
⎠
2
2
przebieg czasowy prądu:
i
A
( t )
=
[
e
−
s
1
t
−
e
s
2
t
=
]
=
e
R
⎛
t
2 L
sh
⎜
2
1
⎞
⎛
R
⎞
⎟
⎜ ⎟ −
⎜ ⎝
2L
⎠
LC
⎟
⎝
⎠
Przypadek B
– APERIODYCZNY-KRYTYCZNY
Jeden biegun dwukrotny:
R
s
1
=
s
2
= −
2L
Przebieg czasowy prądu:
R
U
−
2L t
i
B
( t )
=
t e
L
Przypadek C
– OCYLACYJNY
Dwa bieguny zespolone-sprzężone:
s
1
= −
R
1
⎛
R
⎞
+
j
−⎜ ⎟
2L
LC
⎝
2 L
⎠
2
Przebieg czasowy prądu:
i
C
(
t
)
=
U
e
ω
L
−
R
t
2
L
1
⎛
R
⎞
R
−
j
−⎜ ⎟
s
2
= −
LC
⎝
2 L
⎠
2L
2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
sin(
ω
t
)
2
gdzie
ω
=
1
⎛
R
⎞
−⎜ ⎟
LC
⎝
2
L
⎠
- 15 -
i(t)
Oscylacyjny
Aperiodyczny-krytyczny
Aperiodyczny
t
Przebiegi czasowe wyznaczonych prądów
- 16 -

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin