R_2_mp.pdf

(431 KB) Pobierz
2. DYSTRYBUANTA, FUNKCJA
GĘSTOŚCI, FUNKCJA
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Rozważmy zdarzenie
X < x
polegające na tym, że wartość zmiennej losowej
X
jest
mniejsza od danej wartości
x.
Funkcję
F
(
x
)
�½
P
(
X
x
)
określającą zależność
prawdopodobieństwa
P
(
X
x
)
od wartości
x,
nazywa się
dystrybuantą
danej zmiennej losowe
X.
Dystrybuanta
F(x)
jest funkcją niemalejącą argumentu
x,
przynajmniej lewostronnie ciągłą i
zawsze spełnia warunek
0
F
(
x
)
1
przy czym
F(-
) = 0
oraz
F(
) = 1.
Dystrybuanta
F(x)
może być zdefiniowana wzorem
F(x)=P(X
x)
i wówczas jest przynajmniej prawostronnie ciągła. Dla zmiennej losowej ciągłej
P(X < x) = P(X
x).
Jeżeli dziedziną dystrybuanty jest przedział
[a, b]
to
F(x) = 0
dla
x
a
oraz
F(x) = 1
dla
x > b.
Jeżeli jest znana dystrybuanta
F(x)
to prawdopodobieństwo zdarzenia
X
x
wynosi
P( X
x)
�½
1
F ( x)
natomiast prawdopodobieństwo
zdarzenia, iż X jest w przedziale
a
X < b wyznacza się
z
wzoru:
P(a
X
b)
�½
F (b)
F (a)
Zmienne losowe mogą
być dwojakiego rodzaju:
zmienna losowa skokowa (dyskretna) o skończonej
lub przeliczalnej liczbie możliwych
wartości
(realizacji) - dystrybuanta takiej zmiennej losowej jest funkcją skokową (rys.
2.1);
zmienna losowa ciągła
mogąca przyjmować dowolne wartości z określonego
przedziału
liczb rzeczywistych - dystrybuanta takiej zmiennej losowej jest funkcją
ciągłą
(rys. 2.2).
1
0.5
0
Rys. 2.1 Przykład dystrybuanty zmiennej losowej
skokowej
Rys. 2.2 Przykład dystrybuanty zmiennej losowej
ciągłej
Jeżeli
stosuje się klasyfikację alternatywną np. wyrobów na sztuki dobre i złe lub
klasyfikację
wielowartościową (np. napięcie i temperatura powyżej jakiejś wartości to źle a
odwrotnie to dobrze) to wynik badania wylosowanej sztuki jest zmienną
losową skokową. W celu
określenia
rozkładu zmiennej losowej skokowej
X
podaje się
zbiór możliwych jej wartości oraz
funkcję
p
(
x
i
)
�½
P
(
X
�½
x
i
)
określającą
prawdopodobieństwo zdarzenia
X = x
i
dla każdej
możliwej wartości
x
i
(i
= 1,2,..., n)
danej zmiennej losowej
X.
Funkcja ta nosi nazwę
funkcji prawdopodobieństwa
zmiennej losowej
X.
Znając
funkcję prawdopodobieństwa
p(x
i
)
zmiennej losowej skokowej
X,
można
wyznaczyć
dystrybuantę
F(x)
tej zmiennej losowej dla dowolnej wartości
rzeczywistej
x,
korzystając
z
wzoru:
F
(
x
)
�½
P
(
X
x
)
�½
p
(
x
i
)
x
i
x
czyli poprzez sumowanie wartości
funkcji prawdopodobieństwa
p(x
i
)
dla wszystkich realizacji
zmiennej losowej
X
mniejszych niż
dana wartość
x.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin