04. Pochodne cząstkowe.pdf

(91 KB) Pobierz
POCHODNE CZĄSTKOWE
Niech
X =
K
,
{e
1
, ..., e
n
} – baza kanoniczna
K
n
,
U
Top
K
n
,
f
:
U
Y
,
x
0
U
,
0
0
x
0
�½
x
10
,
x
2
, ...,
x
n
n
(czyli
x
0
-
punkt należący do zbioru
U
otwartego w
K
n
).
Wtedy
j-tą pochodną cząstkową
funkcji
f
w punkcie
x
0
nazywamy pochodną kierunkową
D
e
j
f x
0
w kierunku wektora
e
j
i oznaczamy
 
f
0
x
:
�½
D
e
j
f x
0
.
x
j
 
 
Zatem
f
0
x
x
j
 
z def
.
pochodnej
kierunkowej
�½
lim
t
0
f x
0
te
j
f
(
x
0
)
t
�½
lim
t
0
0
0
0
0
f x
10
,
x
2
, ...,
x
0
1
,
x
0
t
,
x
0
1
, ... ,
x
n
f
(
x
10
,
x
2
, ...,
x
n
)
j
j
j
t
Przykład
Niech
f
:
R
2
R
x
,
f
x
,
y
�½ 
0,
gdy
gdy
y
�½
0,
y
0.
0
Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji
f
w punkcie
x
�½
0, 0
.
f
0,0
�½
lim
f
0
t
,0
f
0, 0
�½
lim
f
t
, 0
f
0, 0
�½
lim
t
0
�½
lim1
�½
1
t
0
t
0
t
0
t
0
x
t
t
t
f
0, 0
�½
lim
f
0, 0
t
f
0, 0
�½
lim
f
0,
t
f
0, 0
�½
lim 0
0
�½
lim 0
�½
0
t
0
t
0
t
0
t
0
x
t
t
t
Związek między istnieniem pochodnych kierunkowych a ciągłością funkcji
Uwaga
1. Istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym
punkcie.
2. Istnienie pochodnej kierunkowej funkcji w punkcie w kierunku dowolnego wektora
(unormowanego) nie zapewnie ciągłości funkcji w tym punkcie.
1
Przykład
Niech
f
:
R
2
R
1, gdy
x
�½
0 lub
y
�½
0,
f
x
,
y
�½ 
0, w przeciwnym przypadku.
Wtedy istnieją pochodne cząstkowe funkcji
f
w punkcie (0, 0), choć funkcja nie jest ciągła w
tym punkcie.
Przykład
Niech
f
:
R
2
R
x
3
y
,
f
x
,
y
�½ 
x
6
y
2
0,
gdy
gdy
(
x
,
y
)
(0, 0),
(
x
,
y
)
�½
(0, 0).
Zbadać ciągłość funkcji
f
oraz wyznaczyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnego
wektora w punkcie
x
0
�½
0, 0
.
Niech
v
�½
v
1
,
v
2
0 ,
v
- niezerowy wektor unormowany, tzn.
v
�½
1 .
Wtedy
t
4
v
1
v
2
0
6
2
f

0, 0
t
v
1
,
v
2

f
0, 0
f
tv
1
,
tv
2
f
0, 0
t
6
v
1
t
2
v
2
D
f
0, 0
�½
lim
�½
lim
�½
lim
�½
t
0
t
0
t
0
v
t
t
t
3
3
0, gdy
v
2
�½
0
t
4
v
1
v
2
v
1
v
2
�½
lim
3 4 6
�½
lim
t
4 6
�½
�½�½
0
2
t
0
t t v
v
2
t
0
0, gdy
v
2
0
t v
1
v
2
1
2
3
0
0
Udowodniliśmy, że istnieje pochodna kierunkowa funkcji w punkcie (0,0) w kierunku
dowolnego wektora.
1 1
Jednakże funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, bo dla ciągu
x
n
,
y
n
�½ 
,
3
n n
n
N
:
x
n
0,
y
n
0;
lim
x
n
,
y
n
�½
(0, 0)
n

oraz
1
6
1
lim
f
x
n
,
y
n
�½
lim
n
�½ 
0
�½
f
0, 0
,
n

n

1
2
6
2
n
zatem na podstawie definicji Heinego
f
C
0, 0
.
opracował Jacek Zańko
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin