Sprawozdanie L3 - MES (1).doc

Metody numeryczne i analogowe analizy pól. Metoda Elementów Skończonych

Bator T., Popowicz M., Madejak A.

Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Sprawozdanie z laboratorium

Wybrane zagadnienie teorii obwodów

Tytuł ćwiczenia

Rozwiązywanie wybranych zagadnień polowych
metodą elementów skończonych

Grupa 2B2

Tomasz BATOR

Marek POPOWICZ

Andrzej MADEJAK

Częstochowa 2012

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą elementów skończonych na przykładzie wybranego zagadnienia polowego z zakresu pola przepływowego (przepływu prądu stałego w stanie ustalonym).

2. Zrzut ekranu dla wybranego obszaru obliczeniowego

Obszar obliczeniowy stanowi bryła przewodząca o konduktywności γ w kształcie półkrążka o promieniu a i grubości h. Na rysunku 2.1 przedstawiono zrzut ekranu dla wybranego obszaru obliczeniowego półkrążka o parametrach:

·         potencjału VA = 100 V,

·         prądu I = 1000 A,

·         konduktywności γ = 100 S/m,

·         promieniu a = 0,2 m,

·         grubości h = 0,01 m,

·         połowy rozwartości elektrody B α = 10°,

·         dyskretyzacji tj.: podziale I = 12, podziale J = 1.

Rys. 2.1. Zrzut ekranu dla wybranego obszaru obliczeniowego w kształcie półkrążka

3. Krótki opis metody

Metoda elementów skończonych (MES) polega na poszukiwaniu rozwiązania równania różniczkowego w postaci funkcji kawałkami sklejanej nad „niewielkimi” fragmentami obszaru działania pola (elementami skończonymi). Ogólny tok postępowania w MES jest następujący:

1. Obszar działania pola υ o brzegu S dzieli się na „niewielkie” podobszary (elementy skończone), które aproksymują tenże obszar oraz jego brzeg.

2. Przyjmuje się lokalne funkcje bazowe i na ich podstawie tworzy się globalne funkcje bazowe, zaś jako parametry obiera się wartości funkcji polowej u w ustalonych punktach elementów skończonych.

3. Dla węzłów każdego elementu skończonego układa się równania, które wkomponowuje się w globalny układ równań liniowych ze względu na wartości węzłowe funkcji u.

4. Do układu równań wprowadza się warunki brzegowe, a następnie rozwiązuje się go ze względu na wartości węzłowe u.

Uzyskany w ten sposób zestaw liczb w połączeniu z przyjętymi funkcjami bazowymi poszczególnych elementów skończonych daje rozwiązanie w postaci funkcji sklejanej.

4. Treść zagadnienia

W ćwiczeniu rozpatruje się zagadnienie z zakresu pola przepływowego (przepływ prądu stałego w stanie ustalonym). W środowisku nieprzewodzącym znajduje się bryła przewodząca o konduktywności γ w kształcie półkrążka o promieniu a i grubości h. Do bryły przyłożono dwie elektrody A i B. Potencjał elektrody A jest zadany i wynosi VA = 100 V. Przez drugą elektrodę wypływa I o równomiernej gęstości (jest to prąd płynący przez bryłę). Usytuowanie elektrod i ich wymiary przedstawia rysunek 4.1.

Podczas ćwiczenia wyznaczano:

·         rozkład potencjału elektrycznego V w obszarze bryły,

·         średni potencjał elektrody B VB,

·         napięcie U między elektrodami,

·         moc P wydzielaną w bryle,

·         rezystancję bryły R.

5. Wzory na parametry VB, U, PO, PB, R

Obliczenia średniego potencjału elektrody B dokonano ze wzoru:

                            (1)

gdzie: V1, V2, … VM oznaczają węzły leżące na elektrodzie B, przy czym V1 i VM są węzłami znajdującym się na jej końcach.

Obliczenia napięcia między elektrodami dokonano jako różnicę potencjałów elektrod ze wzoru:

              .              (2)

Moc wydzielaną w bryle obliczono ze wzoru:

                            (3)

Moc jako wielkość wnikająca do bryły przez jej powierzchnię brzegową obliczono ze wzoru:

              .              (4)

Rezystancję płytki obliczono ze wzoru:

              .              (5)

5. Badane przypadki półkrążka – wyniki pomiarów

I.         Badanie wpływu kąta rozwarcia elektrod: zmieniano kąt α od 10° do 80° co 10°; przyjmowano I = 12, J = 1.

Na rysunkach od 5.1 do 5.8 przedstawiono uzyskane wyniki zmieniając kąt α od 10° do 80° co 10° i przyjmując dyskretyzację I = 12, J = 1.

Rys. 5.1 Wyniki dla kąta α = 10° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.2 Wyniki dla kąta α = 20° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.3 Wyniki dla kąta α = 30° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.4 Wyniki dla kąta α = 40° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.5 Wyniki dla kąta α = 50° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.6 Wyniki dla kąta α = 60° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.7 Wyniki dla kąta α = 70° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

Rys. 5.8 Wyniki dla kąta α = 80° i dyskretyzacji I = 12, J = 1.

W tablicy 5.1 zestawiono uzyskane wyniki dla rozważanych przypadków.