Uniwersytet Technologiczno -Przyrodniczy
im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich
w Bydgoszczy
Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska
Katedra Mechaniki Konstrukcji
Ćwiczenie projektowe P.14
z teorii sprężystości i plastyczności
Temat: Czyste skręcanie pręta pryzmatycznego
Paweł Pawlaczyk
Grupa 1
Semestr I/II stopnia
Rok akademicki 2011/12
Bydgoszcz 2012
1. Naprężenia i odkształcenia
Ze skręcaniem pręta pryzmatycznego mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do momentu, którego płaszczyzna działania jest styczna do przekroju, a wektor jest równoległy do osi pręta.
Moment ten Ms nazywamy momentem skręcającym. Zasadniczym problem jest wyznaczenie macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta. Zagadnienie skręcania prętów pryzmatycznych daje się rozwiązać prostymi metodami wytrzymałości materiałów tylko w przypadku prętów o kołowo symetrycznym przekroju poprzecznym.
Rozważmy wiec, pokazany na rys. 1 pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym, którego pole A, określony w układzie osi (X,Y,Z), w którym oś X jest osią pręta, a dwie pozostałe są osiami głównymi centralnymi jego przekroju poprzecznego. Materiał pręta jest liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz ν.
Rys. 1 Pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym
Postawione zadanie rozwiążemy postępując według kilkakrotnie już stosowanego algorytmu. Po dokonaniu myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzuceniu części II i przyłożeniu do części I układu sił wewnętrznych rozważymy trzy komplety równań tzn. równania równowagi, geometryczne i fizyczne. Równania równowagi wynikające z twierdzenia o równoważności odpowiednich układu sił wewnętrznych i zewnętrznych w tym przypadku przyjmą postać:
(1)
Równania geometryczne sformułujemy w oparciu o przypuszczony obraz deformacji pręta. Przyjęte założenia o własnościach materiału pręta, małych przemieszczeniach i zasada płaskich przekrojów pozwalają przyjąć obraz jego deformacji po obciążeniu pokazany na rys. 2. Narysowana na powierzchni zewnętrznej pręta siatka prostopadłych do siebie linii po
Rys.2 Obraz deformacji pręta po obciążeniu
przyłożeniu momentu skręcającego deformuje się tak, że linie równoległe do osi pręta przechodzą w linie śrubowe a linie prostopadłe do osi pręta pozostają do niego prostopadłe. Można więc opisać mechanizm deformacji jako obroty wokół osi pręta płaskich kołowych. nie deformujących się przekrojów przy nie zmieniających się między nimi odległościach, zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zeru:
ϵx=ϵy=ϵz=0,
oraz γyz=0.
Kąt o jaki obracają się poszczególne przekroje nazywać będziemy kątem skręcenia i oznaczymy go ϕ (x). Dla dalszej analizy deformacji pręta wytnijmy z niego element o dowolnie małej długości dx (rys. 2). Przyrost kąta skręcenia na tym odcinku oznaczmy przez dϕ(x). Z rys. 2 odczytujemy, że na pobocznicy zachodzą zależności:
gdzie: γr – odkształcenie kątowe na pobocznicy pręta. Jeśli dalej przyjmiemy, że zależności zauważone na pobocznicy spełnione są również wewnątrz pręta to możemy napisać:
γ=ρdφ(x)dx
gdzie: γ – odkształcenie kątowe w punkcie o promieniu wodzącym ρ dwóch prostopadłych do siebie włókien, z których jedno jest równoległe do osi pręta, a drugie prostopadłe do promienia wodzącego. Po wprowadzeniu pojęcia jednostkowego kąta skręcania określonego wzorem:
γ=ρ∙θ(x) W miejsce zależności γ=ρdφ(x)dx, dostajemy: γ=ρ∙θ(x) Z równań fizycznych Hooke’a otrzymujemy:
σx=E1+νεx+ν1-2∙νεx+εy+εz→σx=0
σy=E1+νεy+ν1-2∙νεx+εy+εz→σy=0
σz=E1+νεz+ν1-2∙νεx+εy+εz→σz=0
τyz=G∙γyz→τyz=0 oraz
τ=G∙γ=G∙ρ∙θ(x)
Rys.3
Kierunek wektora tych ostatnich naprężeń stycznych τ, jest prostopadły do promienia wodzącego punktu ρ, a jego zwrot jest taki, że kręci względem środka tak samo jak obciążający przekrój moment skręcający. Jak widać z rys. 3 naprężenia styczne w rozważanym punkcie, równoległe do osi układu odniesienia, można wyrazić poprzez naprężenie styczne τ wzorami:
τxy=-τ∙sinα oraz τxz=-τ∙cosα, a po podstawieniu do równania γ=ρ∙θ(x), przyjmując postać:
τxy=-G∙θxz i τxz=G∙θxy (2)
Wracamy do równań równoważności (1). Pierwsze, piąte i szóste z uwagi na zerowania się naprężeń normalnych są spełnione tożsamościowo.
Równanie drugie:
AτxydA=A-GθxzdA=-Gθ(x)AzdA=0,
Jest spełnione, bo całka to moment statyczny względem osi centralnej Y. Z analogicznego powodu spełnione jest trzecie równanie równoważności:
AτxzdA=AGθxydA=-Gθ(x)AzdA=0.
Przejdźmy do równania czwartego:
A-τxyz+τxzydA=Msx
Podstawienie pod całkę zależności (2) i kolejne przekształcenia dają:
AGθxz2+Gθxy2dA=Msx→GθxAz2+y2dA=Msx
θx=Ms(x)GJ0 (2)
gdzie: J0=Ay2+z2dA=Aρ2dA , to biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego względem jego środka ciężkości, a iloczyn G∙J0 nazywamy sztywnością na skręcanie.
Wstawiając (2) do wzoru τ=G∙γ=G∙ρ∙θ(x) otrzymujemy wzór określający rozkład naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym skręcanego pręta o przekroju kołowo – symetrycznym.
τ=Ms(x)J0ρ (3)
Rys. 4
2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W rozważanym przypadku na płaszczyznach prostopadłych do osi układu odniesienia nie ma naprężeń normalnych, a występujące w płaszczyźnie przekroju poprzecznego naprężenia styczne określone wzorem (3) są liniowo zależne od odległości od jego środka ciężkości. Zatem swą największą wartość osiągają one w punktach leżących na obwodzie:
max τ=Ms(x)J0r=Ms(x)W0
Gdzie: W0=J0r – wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu (lub biegunowy wskaźnik wytrzymałości).
Rozkład tych naprężeń styczny pokazany jest na rys. 5 jak już powiedziano wyżej, ich kierunek jest prostopadły do wektora wodzącego punktu, a zwrot taki, że kręcą one względem środka ciężkości tak samo jak obciążający przekrój moment skręcający. Kołowa symetria przekroju powoduje, że taki liniowy rozkład występuje na każdym odcinku przechodzącym przez środek przekroju poprzecznego.
Rys. 5
W omawianym przypadku w każdym punkcie pręta mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia (dokładniej z czystym ścinaniem), płaszczyzną tego stanu jest płaszczyzna prostopadła do przekroju poprzecznego i prostopadła do wektora wodzącego punktu. Naprężenia główne, z których jedno jest rozciągające a drugie ściskające o wartościach równych naprężeniom stycznym, nachylone są pod kątem 45° do osi pręta (rys. 6).
Rys. 6
Macierz odkształceń odpowiadającą wyznaczonym naprężeniom obliczamy korzystając ze związków fizycznych Hooke’a.
Kąt skręcania dwóch przekrojów odległych o x jest równy:
φx=0xθxdx=0xMs(x)G∙J0dx (4)
Stąd, całkowity kąt skręcania pręta o długości l, obciążonego stałym momentem skręcającym Msx=Ms, wynosi:
φ=Ms∙lG∙J0
W tym miejscu warto zwrócić uwagę na zależność (4), pokazuje ona, że funkcja momentów skręcających podzielona przez sztywność na skręcanie GJ0 jest pochodną kąta skręcania.
3. Wymiarowanie skręcanych prętów o kołowo symetrycznym przekroju
Stan graniczny nośności wymaga, aby największe naprężenia styczne w konstrukcji były mniejsze od naprężeń obliczeniowych przy ścinaniu Rt:
maxτ≤Rt
W przypadku pręta o stałym przekroju poprzecznym na całej jego długości największe naprężenia styczne wystąpią w przekroju maksymalnego momentu skręcającego we wszystkich punktach na obwodzie i warunek stanu granicznego nośności przyjmuje formę:
maxτ=max MsW0≤Rt
Stan graniczny użytkowania nie dopuszcza zbyt dużego kąta skręcania w konstrukcji i związany z nim warunek stawia wymóg, by największy jednostkowy kąt skręcania był mniejszy od dopuszczalnego:
maxθ≤θdop
W przypadku pręta pryzmatycznego wykonanego z jednego materiału największy jednostkowy kąt skręcania wystąpi w przekroju maksymalnego momentu skręcającego i warunek stanu granicznego użytkowania przyjmuje postać:
maxMsG∙J0≤θdop
Bibliografia:
1. ...
justynkalp