Ściąga fiza.docx

Ruch postępowy to ruch, w którym wszystkie punkty bryły doznają równych i równoległych przemieszczeń, gdyż wszystkie zakreślają tory o takim samym kształcie i wszystkie mają takie same prędkości. Wynika z tego, że w ruchu postępowym wszystkie punkty bryły mogą być reprezentowane przez jeden punkt – środek ciężkości, a cały ruch może być opisany tak, jak ruch punktu materialnego.

Ruch obrotowy to ruch, w którym wszystkie punkty bryły zataczają współśrodkowe okręgi wokół osi obrotu. Oś obrotu to linia, na której leżą punkty bryły pozostające w spoczynku podczas obrotu.

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej

Jeśli na bryłę sztywną działa niezrównoważony moment sił względem wybranej osi obrotu, to bryła porusza się wokół tej osi ruchem obrotowym przyspieszonym (opóźnionym), w którym przyspieszenie kątowe jest wprost proporcjonalne do wartości wypadkowego momentu siły Mw, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności bryły I, wyznaczonego względem tej osi:




 

skąd mamy: M I w = e.

Zasada zachowania momentu pędu

Zasada zachowania momentu pędu wynika z II zasady dynamiki dla bryły sztywnej, którą można przedstawić w postaci:








Z powyższego wzoru widać, że gdy wypadkowy moment sił Mw = 0, to Lk - Lo = 0 i tym samym: L = const, czyli I ·ω = const. Jest to treść zasady zachowania momentu pędu (krętu). Wnioskujemy stąd, że jeżeli Mw = 0, to zmiana momentu bezwładności (inny rozkład masy względem osi obrotu) pociąga za sobą taką zmianę szybkości kątowej, przy której moment pędu będzie taki sam.

Energia kinetyczna

jest związana z ruchem ciał. Jest ona zależna od dwóch wartość: prędkości ciała oraz jego masy. Energię kinetyczną posiada np. jadący samochód. Podczas jazdy samochodem należy zwrócić uwagę na zależność energii kinetycznej od prędkości, a mianowicie, gdy prędkość samochodu wzrasta na przykład dwukrotnie z 60km/h do 120km/h, to jego energia kinetyczna wzrasta 4 razy!.

Energia kinetyczna jest równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości podniesionej do kwadratu podzielonej przez dwa.

Podstawową jednostką energii kinetycznej jest 1 dżul [J]

Energia potencjalna ciała

w danym punkcie, względem określonego punktu odniesienia, równa jest pracy jaką wykonują siły zachowawcze przy przemieszczeniu  ciała z danego punktu do punktu odniesienia.

Zasada zachowania energii

W układzie odosobnionym od zewnętrznego otoczenia w ten sposób, że energia w żadnej postaci nie przenika do niego z zewnątrz ani nie uchodzi z niego na zewnątrz, całkowita wartość energii pozostaje niezmienna: mogą w nim tylko zachodzić przemiany energetyczne jednej postaci energii w inną.  Szczególnym przypadkiem powyższej zasady jest zasada zachowania energii mechanicznej. Rozważmy przykład piłki o masie m zawieszonej na wysokości h. Posiada ona energię potencjalną Ep = mgh, jednak kiedy zacznie spadać nabiera z każdą sekundą prędkości, przez co zwiększa się jej energia kinetyczna, natomiast ponieważ zmniejsza się wysokość, zminiejsza się energia potencjalna. Wszelkie opory ruchu pomijamy. Jasno widać z tego przykładu, że energia potencjalna przechodzi w energię kinetyczną. Dzięki zasadzie zachowania energii wiemy, że w dowolnym momencie ruchu tej piłki energia całkowita jest równa sumie energii potencjalnej i kinetycznej:

Ec = Ep + Ek

Drgania swobodne

drgania swobodne – gdy układ, na który nie działają

zmienne siły zewnętrzne, zostanie wyprowadzony z

położenia równowagi

Drgania tłumiące

Drgania tłumione (gasnące)

Z doświadczenia wiemy, że wahadło pobudzone jednorazowo do drgań przez wychylenie go z położenia równowagi waha się w miarę upływu czasu coraz słabiej, aż wreszcie zatrzymuje się. Świadczy to o rozpraszaniu energii. Drgania takie nazywamy drganiami tłumionymi lub gasnącymi.

Jeżeli pewien punkt jest poddany jednoczesnemu pobudzeniu przez dwa niezależne źródła drgań (sprężyny, generatory itp.), to ten punkt będzie wykonywał drganie będące sumą obu drgań. Mówimy wtedy o składaniu drgań. Chociaż składanie drgań może dotyczyć drgań o dowolnym kształcie, to ograniczymy się do sytuacji, w których oba źródła wykonują drgania harmoniczne. Możemy wyróżnić dwa interesujące przypadki szczególne:

1. oba drgania odbywają się w tym samym kierunku i wtedy będziemy mieli składanie drgań równoległych. Występuje wtedy bardzo efektowne zjawisko zwane dudnieniem, które ma także ważne znaczenie w technice pomiarowej.

2. oba drgania odbywają się w kierunkach prostopadłych do siebie i wtedy mówimy o składaniu drgań prostopadłych. Pod działaniem drgania wypadkowego punkt porusza się po torze, który często jest bardzo skomplikowaną krzywą mającą często fantastyczne walory graficzne. Stosunkowo najmniej skomplikowane z tych krzywych noszą nazwę krzywych Lissajous.

Jeżeli dwa drgania mają bardzo podobne częstotliwości kołowe, ω oraz ω+Δω, przy czym Δω << ω, a ponadto jeżeli oba te drgania odbywają się w tym samym kierunku i są opisywane równaniami

 to suma tych drgań będzie wynosiła

Ponieważ wiadomo, że

 to równanie drgań wypadkowych można zapisać jako

 Na podstawie przyjętego warunku Δω << ω  można napisać, że cos (ω+Δω/2)t  ≈  cos ωt . W tym przybliżeniu otrzymujemy końcowe równanie sumy drgań: 

I zasada dynamiki

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada dynamiki,

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

III zasada dynamiki

Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).

DYNAMIKA  BRYŁY  SZTYWNEJ

Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze względem siebie stałą odległość.

Stąd wynika, ze podczas ruchu układ punktów materialnych składających się na bryłę sztywną porusza się jako całość o nie zmieniającej się postaci i objętości

Bryła sztywna ma 6 stopni swobody w ruchu swobodnym.

Zasada zachowania pędu

Jeśli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ równa się zeru, to wektor wypadkowego pędu całego układu pozostaje stały.

Zasada ta jest bardzo często obserwowana w naszym życiu. Np. jeśli ktoś wyskakuje z nieruchomej łódki w stronę brzegu, to zauważa, że potem łódka zaczęła poruszać się w przeciwnym kierunku. Inny przykład: jeśli ktoś strzela z broni palnej, to z pewnością odczuł jak np. strzelba "uderza" go po wystrzale. Zjawisko odrzutu jest szeroko wykorzystywane np. w samolotach odrzutowych lub rakietach.

Sprężyste zderzenie centralne

Prawo Hooke'a

prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

gdzie:

F – siła rozciągająca,

S – pole przekroju,

Δl – wydłużenie pręta,

l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

gdzie:

– odkształcenie względne,

  – naprężenie.

Ruch drgający

Ruch odbywający się wokół pewnego punktu zwanego położeniem równowagi nazywamy ruchem drgającym. Max wychylenie punktu z położenia równowagi nazywamy amplitudą ruchu drgającego. Czas w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie nazywamy okresem ruchu drgającego. Ö-ni, częstotliwość, ilość drgań w jednostce czasu. Ö=1/T. Jeżeli punkt porusza się po okręgu, to jego rzut na średnicę okręgu porusza się ruchem drgającym o amplitudzie równej promieniowi tego okręgu. x/r=sinL, x=rsinL, x=Asinwt – położenie punktu drgającego  w dowolnej chwili obrotu. w=2p/T. V=2pr/T=wr. V1=vcosL v=wAcoswt – zależność prędkości od czasu w ruchu drgającym. Prędkość zmienia się w czasie trwania ruchu, a więc ruch drgający jest ruchem przyspieszonym. a1=ad*sinL, a1-składowa ad, przyspieszenie z którym porusza się punkt drgający. ad-przyspieszenie punktu poruszającego się po okręgu. a=w2Asinwt. Ponieważ przyspieszenie ma przeciwny zwrot do wychylenia to we wzorze na przyspieszenie pojawia się znak minus. a=-wAsinwt, a=-wx.Siła sprężystości F=-kx. Siłą, która powoduje ruch drgający ciała jest siła sprężystości, czyli siła proporcjonalna do wychylenia. Ma ona zwrot do położenia równowagi, czyli przeciwny do wychylenia, stąd we wzorze znak minus. F=ma, a=-wx, k=mw2, w=Ök/m. w=2pÖ, w=Ök/m – częstość drgań. Okres drgań=T=2p/w=2pÖm/k.

Punktową masę zawieszoną na nierozciągliwej nici nazywamy wahadłem matematycznym. Ruch wahadła powoduje składowa siły grawitacji. Jeżeli udowodnimy, że składowa F1 jest proporcjonalna do wychylenia to znaczy, że ruch wahadła jest ruchem drgającym harmonicznym. F1=mgsinL, x/l=tgL. F1=-mg/l*x. Dla małych kątów ruch wahadła jest harmoniczny. Siła jest zwrócona do położenia równowagi. F1=ma, w=Ög/l – częstość drgań. T=2pÖl/g.

Energia w ruchu drgającym. Ec ciała drgającego jest równa sumie energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości. Energia całkowita ciała jest stała i równa jego max energii potencjalnej. Fśr=kx/2 W=kx/2*x=kx2/2=Eps, Ec=Eps+Ek=kx2/2 + mv2/2, x=Asinwt v=wAcoswt Ec=kA2/2

Ruch odbywający się wokół pewnego punktu zwanego położeniem równowagi nazywamy ruchem drgającym. Maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi nazywamy amplitudą i oznaczamy A. Czas w którym odbywa się jedno pełne drganie nazywamy okresem ruchu drgającego – T. Częstotliwość jest to ilość drgań w jednostce czasu υ=1/T Jeżeli punkt porusza się po okręgu to jego rzut na średnice porusza się ruchem drgającym o amplitudzie równej promieniowi okręgu ω=2π/T, x=rsinα, x(t)=Asinωt – równanie ruchu drgającego, położenie punktu. Równaniem ruch drgającego można obliczyć wychylenie punktu z położenia równowagi w chwili t. Prędkość zmienia się w czasie trwania ruchu, a więc ruch drgający jest ruchem przyspieszonym V=ωAcosωt V=2πr/T=ωr a1=adsinα – przyspieszenie, w którym porusza się punkt drgający jest ona składową przyspieszenia dośrodk ad=ωr=V2/r ? –przysp punktu poruszającego się po okręgu. Ponieważ przyspieszenie ma przeciwny zwrot do wychylenia to we wzorze pojawia się minus a=–ω2x=–ω2Asinωt  

F=-kx – siłą sprężystości. Ruch drgający powoduje siłą sprężystości, ma ona zawsze przeciwny zwrot do wychylenia (stąd minus). Zgodnie z II zasadą dynamiki siła sprężystości działając na ciało nadaje mu przyspieszenie. W ruchu drgającym częstotość drgań ω=2πυ

υ- częstotliwość. Częstość drgań ciała o masie m na które działa siła o współczynniku k. T=2π√(m/k) – okres drgań, ω=√k/m – częstość

Ruch okresowy

 Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.