9.A NAPR_ZGINANIE_ZADANIA.pdf

(196 KB) Pobierz
NapręŜenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym
Czyste zginanie – bez działania siły poprzecznej.
W kaŜdy przekroju pręt obciąŜony momentem gnącym o stałej wartości.
Linie prostopadłe do osi pręta, np.
bb
i
cc,
pozostają proste, a kontur nadal
płaski. Całe przekroje zachowują swoją płaskość. Dzieląc w myśli belkę na
podłuŜne elementy, zwane włóknami – po stronie wklęsłej ulegają skróceniu i
odległości między przekrojami prostopadłymi do osi zmniejszyły się.
W pręcie istnieje warstwa, w której włókna nie zmieniły swojej długości.
Warstwa – warstwa obojętna, a
ślad
w płaszczyźnie przekroju pręta –linią (osią)
obojętną.
W przekroju występują
napręŜenia normalne.
M
g
b
c
M
g
x
b
c
y
z
M
x
dx
x
y
dx
M
g
b
’
y
M
g
c
’
x
b
’
c
’
a)
M
g
b
c
M
g
x
z
M
b
c
y
x
dx
x
y
dx
y
b)
dϕ
y
dA
M
g
z
y
y
σ
ds=dx
ds(1+ε)
ρ
-
σ
y
ds
(
1
+ ε
)
ds
=
−ρ+
y
−ρ
+
M
g
ρ
M
g
x
y
Po odkształceniu wszystkie linie siatki są do siebie prostopadłe
1. Warunki geometryczne
Rys. a) – pręt przed odkształceniem i po zgięciu (rys. b).
y – włókno odległe od osi obojętnej – długość pierwotna
dx
=
ds
, po odkształceniu
wynosi
ds
(1
+
ε
) ,
ε
−
wydłu
Ŝ
enie wła
ś
ciwe. Z zale
Ŝ
no
ś
ci geometrycznych
ds
(
1
+ ε
)
ds
=
a stąd
−ρ+
y
−ρ
y
ρ
ρ
−
promie
ń
krzywizny warstwy oboj
ę
tnej.
ε=−
(1)
Siły zewn
ę
trzne działaj
ą
ce po jednej stronie przekroju belki redukuj
ą
si
ę
do momentu M
g.
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c wewn
ę
trzne siły elementarne
σ
dA
2. Warunki równowagi
tworz
ą
c przestrzenny układ sił
równoległych, mo
Ŝ
na dla odci
ę
tej cz
ęś
ci belki napisa
ć
równania równowagi.
∑
P
x
=
0,
y
∫
A
σ
dA
=
0
(2)
(3)
(4)
∑
M
=
0,
=
0,
∫
A
z
σ
dA
=
0
y
σ
dA
−
M
g
=
0
∑
M
z
∫
A
3. Warunki fizyczne (prawo Hooke’a):
σ
= E
ε
.
Wykorzystując warunki geometryczne otrzymujemy:
σ = −
E
y
ρ
(5)
Rozkład napręŜeń w przekroju – wartość proporcjonalna do odległości od osi
obojętnej przekroju.
−
−
−
E
ρ
E
∫
∫
A
y dA
=
0,
y z dA
=
0,
y
2
dA
=
M
g
(6)
ρ
E
A
ρ
∫
A
Uwzględniając
1
∫
A
y
2
dA
=
I
z
osiowy moment bezwładno
ś
ci, mo
Ŝ
na zapisa
ć
ρ
=−
M
g
EI
z
,
EI
z
–
sztywność na zginanie
.
1
Wstawiając
−
ρ
=
σ
Ey
M y
g
σ
=
I
z
Wytrzymałość na zginanie
NapręŜenia w przekrojach poprzecznych belki. ZauwaŜalne róŜnice
promienia krzywizny włókien poprzecznych
ρ
’
.
Wytrzymałość na zginanie.
σ
1
e
1
Oś obojętna
e
2
σ
2
y
σ
y
σ
1
=
M
g
σ
2
=
M
g
Przyjmuj
ą
c
W
1
=
I
z
,
e
1
W
2
=
e
1
,
I
z
e
2
.
I
z
σ
2
=
M
g
W
2
, gdzie W
1
, W
2
M
g
I
z
, otrzymujemy
σ
1
=
,
e
2
W
1
s
ą
to wska
ź
niki wytrzymało
ś
ci na zginanie. Je
Ŝ
eli e
1
=e
2
, W
1
=W
2
= W i wtedy warunek
wytrzymało
ś
ci belki zginanej b
ę
dzie miał posta
ć
:
M
g
W
= σ
max
≤ σ
dop
.
Przykład.
Przykład. Taśmę stalową o grubości g i szerokości b
opasano wokół pobocznicy walca o
średnicy
d.
Wyznaczyć
średnicę
walca jeŜeli napręŜenia
dopuszczalne dla stalowej taśmy wynoszą 470 [MPa].
d
d+2g
Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy:
E
y dA
=
0,
ρ
∫
A
E
−
∫
y z dA
=
0,
ρ
A
E
E
−
∫
y
2
dA
=
M
g
,
→ −
I
z
=
M
g
.
ρ
A
ρ
Po przekształceniach napr
ęŜ
enie wyrazi si
ę
wzorem:
−
σ =
M
g
y
.
I
z
Przykład:
Dla belki jak na rysunku przyjmiemy l=200[mm],a=40[mm], b=4[mm], h=8[mm],
P=120[N]. W
ś
rodkowej cz
ęś
ci belki dla -60 < x < 60[mm] b
ę
dzie istniał stały moment
zginaj
ą
cy M
g
= 4800[Nmm]. Moment bezwładno
ś
ci przekroju belki wzgl
ę
dem osi z wynosi:
4
⋅
8
3
I
z
=
[
mm
4
]
12
natomiast napr
ęŜ
enia po wysoko
ś
ci belki zmieniaj
ą
si
ę
nast
ę
puj
ą
co
y
σ =
4800
3
12
48
Dla y =0.5h napr
ęŜ
enia posiadaj
ą
warto
ść
maksymaln
ą
σ
max
= 112.5[MPa].
Belk
ę
t
ą
obliczono metod
ą
elementów sko
ń
czonych jako brył
ę
przestrzenn
ą
. W
zdeformowanej postaci belki (przemieszczenia w skali 20:1) rozkład napr
ęŜ
enia
przedstawiono na rysunku poni
Ŝ
ej.
x
σ[MPa]
y
60
W ka
Ŝ
dym przekroju belki wyst
ę
puje identyczny rozkład napr
ęŜ
e
ń
. Przekroje poprzeczne
belki odkształconej s
ą
nadal płaskie ale doznaj
ą
deformacji jak na rysunku poni
Ŝ
ej.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin